XJ
O
c
U
Q
i-H
O
rvj
CT
>Q .
O
U
4.4. Trajectoires génératrices d’un système linaire
Remarques
1. Il existe naturellement des trajectoires non-génératrices, ne serait-ce que la trajectoire nulle 1 1- ^ 0(0, r) = 0.
2. Dans le résultat établi, il n’y a aucune restriction sur h, qui peut être un point nongénérateur comme le sont q et dans l’illustration ci-après; h peut aussi être un
équilibre.
3. Deux orbites quelconques peuvent ne pas être transformées l’une de l’autre par
un endomorphisme. Par exemple, dans l’illustration qui suit, il y a des orbites
circulaires et des orbites rectilignes, mutuellement inaccessibles par application
linéaire. Ces orbites ne sont pas génératrices.
4. Il n’y a pas symétrie : la trajectoire T\ peut générer T2 sans que Ti puisse générer
T| (considérer la trajectoire nulle). Ceci vaut aussi pour les orbites.
5. Pour t = 0, 0(/, h) = ij/{a, h).(p(t,a) entraîne h = if/(a, b)a. On a donc 0(r, 0(a, h).a) =
0(i/, b).(j}{t,a). En écriture abrégée :0o0 = 0 o0;on reconnaît formellement une
conjugaison, mais celle-ci se limite aux deux trajectoires concernées, c’est-à-dire
à deux systèmes monodimensionnels.
6. Naturellement, l’existence des trajectoires génératrices au sens où nous les avons
définies ne se généralise pas aux systèmes non-linéaires.
Illustration : s o it s u r E =
le s y s tè m e x =
(0 -1
0
1 0 0
,0 0 -0.1^
L a fig u re 4 .6 ( s u r la q u e lle le s c o o r d o n n é e s s o n t d é s ig n é e s p a r x, y e t z) e n m o n tr e
tro is o r b ite s :
- u n e h é lic e tra c é e à p a r tir d e c\ = ( 1, 0 , 1) ;
- u n c e r c le tra c é à p a r tir d e C2 = ( 1, 0 , 0) ;
- u n s e g m e n t r e c tilig n e tra c é à p a r tir d e C3 = (0 , 0 , 1).
Il a p p a r a ît q u e la p r e m iè r e g é n è r e la s e c o n d e p a r p r o je c tio n v e rtic a le (q u i e s t l ’e n
d o m o r p h is m e < ^ (ci, C2)), e t la tr o is iè m e p a r p r o je c tio n h o r iz o n ta le s u r l ’a x e v e rtic a l
(q u i e s t l ’e n d o m o r p h is m e i//{ci, C3)). U n e v a lid a tio n a n a ly tiq u e e s t p r o p o s é e e n e x e r
c ic e 4 .2 .
Figure 4 .6 - Trois orbites dont une génératrice.
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4.4. Trajectoires génératrices d’un système linaire
Remarques
1. Il existe naturellement des trajectoires non-génératrices, ne serait-ce que la trajectoire nulle 1 1- ^ 0(0, r) = 0.
2. Dans le résultat établi, il n’y a aucune restriction sur h, qui peut être un point nongénérateur comme le sont q et dans l’illustration ci-après; h peut aussi être un
équilibre.
3. Deux orbites quelconques peuvent ne pas être transformées l’une de l’autre par
un endomorphisme. Par exemple, dans l’illustration qui suit, il y a des orbites
circulaires et des orbites rectilignes, mutuellement inaccessibles par application
linéaire. Ces orbites ne sont pas génératrices.
4. Il n’y a pas symétrie : la trajectoire T\ peut générer T2 sans que Ti puisse générer
T| (considérer la trajectoire nulle). Ceci vaut aussi pour les orbites.
5. Pour t = 0, 0(/, h) = ij/{a, h).(p(t,a) entraîne h = if/(a, b)a. On a donc 0(r, 0(a, h).a) =
0(i/, b).(j}{t,a). En écriture abrégée :0o0 = 0 o0;on reconnaît formellement une
conjugaison, mais celle-ci se limite aux deux trajectoires concernées, c’est-à-dire
à deux systèmes monodimensionnels.
6. Naturellement, l’existence des trajectoires génératrices au sens où nous les avons
définies ne se généralise pas aux systèmes non-linéaires.
Illustration : s o it s u r E =
le s y s tè m e x =
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L a fig u re 4 .6 ( s u r la q u e lle le s c o o r d o n n é e s s o n t d é s ig n é e s p a r x, y e t z) e n m o n tr e
tro is o r b ite s :
- u n e h é lic e tra c é e à p a r tir d e c\ = ( 1, 0 , 1) ;
- u n c e r c le tra c é à p a r tir d e C2 = ( 1, 0 , 0) ;
- u n s e g m e n t r e c tilig n e tra c é à p a r tir d e C3 = (0 , 0 , 1).
Il a p p a r a ît q u e la p r e m iè r e g é n è r e la s e c o n d e p a r p r o je c tio n v e rtic a le (q u i e s t l ’e n
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Figure 4 .6 - Trois orbites dont une génératrice.
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