Chapitre 4 • Stabilité des systèmes linéaires
C o m m e d e t [¡/{a) =
, la m a tr ic e [¡/{a) e s t in v e r s ib le h o r s d e l ’h y p e r p la n ap =
0. A lo r s , p o u r to u t r,
a ) =
( p { t , cr), d ’o ù
b ) = i p { b )
( p i t , cr), c e
q u i m o n tr e q u e a e s t g é n é ra te u r . R e te n o n s q u e p r e s q u e to u t p o in t d e £ / e s t g é n é r a te u r
p o u r le s y s tè m e r é d u it à E /, e t q u e p resq u e toute tr a je c to ir e d a n s E / e s t g é n é r a tr ic e ;
« p r e s q u e to u te tr a je c to ir e » s ig n ifie « p o u r p r e s q u e to u te c o n d itio n in itia le x ( 0) d e la
tr a je c to ir e ».
• S i E / e s t a s s o c ié à d e u x v a le u rs p r o p re s c o m p le x e s p ± ioj, n o u s a v o n s :
■a
O
c
D
Q
kD
O
rs]
ai
's_
>.
C L
O
U
(y P
yp-\ -ô p -\ ••• . . . y ,
Sp yp ôp-\ yp-\ ••• • ••
71
0 0 yp -ô p ■ ■ ■ •••72 -¿2
0 0
Sp
y P ••• ... ¿2 72
i//(a ) =
0
y P ~ ^ P
0 ôp y P
o ù ( 7 1 , ô\, 7 2 , Ù2 , • • • , 7 p, ôp) s o n t le s c o m p o s a n te s d e a.
C o m m e d e t i//(a) = [(7 ^)^ + ( S p Ÿ Y , la m a tr ic e ip(a) e s t in v e r s ib le h o r s d u s o u s -
e s p a c e j p = ôp = 0 de d im e n s io n p - 2. A lo r s , p o u r to u t t, o n a p a r le m ê m e
c a lc u l f o rm e l q u e p r é c é d e m m e n t (p(t, b) = il/(b)ip{a)~^
a), c e q u i m o n tr e q u e
a e s t g é n é r a te u r d a n s E /. L ’e n d o m o r p h is m e e n j e u e s t i//(b)il/{a)~^ e t p e u t ê tr e n o té
(¡/(a, b). R e te n o n s q u e p r e s q u e to u t p o in t d e E / e s t g é n é ra te u r , d o n c q u e p r e s q u e to u te
tr a je c to ir e d a n s E , e s t g é n é r a tr ic e , to u jo u r s p o u r le s y s tè m e r é d u it à E /.
L a g é n é r a lis a tio n d e c e q u i p r é c è d e à E e n tie r se f a it s a n s d iffic u lté c o m m e s ’e s t
fa ite a u § 4 .4 .3 l ’id e n tif ic a tio n d e 0 (r, a) c o m m e tr a je c to ir e g é n é ra tr ic e . L e p o in t a
é ta it a lo rs u n p o in t p a r tic u lie r d e E , m a is n o u s s a v o n s d é s o r m a is q u e p r e s q u e to u t
p o in t a d t E ( c ’e s t- à - d ir e p o u r a a p p a r te n a n t à E p riv é d ’u n e n s e m b le d e m e s u r e
n u lle ) p e u t j o u e r le m ê m e rô le . N o u s p o u v o n s d o n c é n o n c e r :
Dans tout système linéaire, presque toute trajectoire est génératrice
P o u r p resq u e tout a d e E e t p o u r tout p o in t b d e E , il e x is te u n e n d o m o r p h is m e
b) tel q u e V i G IR,
b) = {¡/{a, b ) .
4f{a, b) = ij/{b)
.
62
C o m m e d e t [¡/{a) =
, la m a tr ic e [¡/{a) e s t in v e r s ib le h o r s d e l ’h y p e r p la n ap =
0. A lo r s , p o u r to u t r,
a ) =
( p { t , cr), d ’o ù
b ) = i p { b )
( p i t , cr), c e
q u i m o n tr e q u e a e s t g é n é ra te u r . R e te n o n s q u e p r e s q u e to u t p o in t d e £ / e s t g é n é r a te u r
p o u r le s y s tè m e r é d u it à E /, e t q u e p resq u e toute tr a je c to ir e d a n s E / e s t g é n é r a tr ic e ;
« p r e s q u e to u te tr a je c to ir e » s ig n ifie « p o u r p r e s q u e to u te c o n d itio n in itia le x ( 0) d e la
tr a je c to ir e ».
• S i E / e s t a s s o c ié à d e u x v a le u rs p r o p re s c o m p le x e s p ± ioj, n o u s a v o n s :
■a
O
c
D
Q
kD
O
rs]
ai
's_
>.
C L
O
U
(y P
yp-\ -ô p -\ ••• . . . y ,
Sp yp ôp-\ yp-\ ••• • ••
71
0 0 yp -ô p ■ ■ ■ •••72 -¿2
0 0
Sp
y P ••• ... ¿2 72
i//(a ) =
0
y P ~ ^ P
0 ôp y P
o ù ( 7 1 , ô\, 7 2 , Ù2 , • • • , 7 p, ôp) s o n t le s c o m p o s a n te s d e a.
C o m m e d e t i//(a) = [(7 ^)^ + ( S p Ÿ Y , la m a tr ic e ip(a) e s t in v e r s ib le h o r s d u s o u s -
e s p a c e j p = ôp = 0 de d im e n s io n p - 2. A lo r s , p o u r to u t t, o n a p a r le m ê m e
c a lc u l f o rm e l q u e p r é c é d e m m e n t (p(t, b) = il/(b)ip{a)~^
a), c e q u i m o n tr e q u e
a e s t g é n é r a te u r d a n s E /. L ’e n d o m o r p h is m e e n j e u e s t i//(b)il/{a)~^ e t p e u t ê tr e n o té
(¡/(a, b). R e te n o n s q u e p r e s q u e to u t p o in t d e E / e s t g é n é ra te u r , d o n c q u e p r e s q u e to u te
tr a je c to ir e d a n s E , e s t g é n é r a tr ic e , to u jo u r s p o u r le s y s tè m e r é d u it à E /.
L a g é n é r a lis a tio n d e c e q u i p r é c è d e à E e n tie r se f a it s a n s d iffic u lté c o m m e s ’e s t
fa ite a u § 4 .4 .3 l ’id e n tif ic a tio n d e 0 (r, a) c o m m e tr a je c to ir e g é n é ra tr ic e . L e p o in t a
é ta it a lo rs u n p o in t p a r tic u lie r d e E , m a is n o u s s a v o n s d é s o r m a is q u e p r e s q u e to u t
p o in t a d t E ( c ’e s t- à - d ir e p o u r a a p p a r te n a n t à E p riv é d ’u n e n s e m b le d e m e s u r e
n u lle ) p e u t j o u e r le m ê m e rô le . N o u s p o u v o n s d o n c é n o n c e r :
Dans tout système linéaire, presque toute trajectoire est génératrice
P o u r p resq u e tout a d e E e t p o u r tout p o in t b d e E , il e x is te u n e n d o m o r p h is m e
b) tel q u e V i G IR,
b) = {¡/{a, b ) .
4f{a, b) = ij/{b)
.
62