4.4. Trajectoires génératrices d’un système linaire
D a n s c e tte é g a lité :
• ai e s t l ’é lé m e n t d e E , d o n t, d a n s n o tr e b a s e ( b a s e d e J o r d a n ) , to u te s les c o o r d o n n é e s
s o n t n u lle s , s a u f :
- la d e r n iè r e , é g a le à 1, d a n s le c a s o ù E / e s t a s s o c ié à d/ G R ;
- l ’a v a n t- d e r n iè r e , é g a le à 1, d a n s le c a s o ù E , e s t a s s o c ié à jjj ± iw i G C .
• T o u t (f)i e s t u n v e c te u r d e d im e n s io n d im E , ;
• T o u t il/i e s t u n e m a tr ic e d e d im e n s io n d im E /X d im Ej ;
e s t u n p o in t q u e lc o n q u e d e R ” .
L ’é g a lité f o r m e lle 0 ( r , b) =
. (pit, a) d é jà r e n c o n tr é e d a n s c h a q u e E,- e s t d o n c
a u s s i valable p o u r to u t p o in t b de E .
E n r é s u m é , o n a le r é s u lta t s u iv a n t, a é ta n t le p o in t d é fin i c i- a v a n t :
Tout système linéaire possède une trajectoire génératrice
S o it X = A x u n s y s tè m e lin é a ir e s u r E = R " , d e flo t 0(t, ^ ).
A lo r s , p o u r to u t
G E , il e x is te un e n d o m o r p h is m e i//{b) d e R " tel q u e :
V i € IR, (/>(t, b) = i/f(b) .(l>(t,a)
'bi^
• a =
, e i b = •
■ a
O
c
D
Q
kD
O
CM
(y)
xz
ai
>Q .
O
U
û
@
L e s y s tè m e n e p o s s è d e d o n c qu^une trajectoire à d e s e n d o m o r p h is m e s p rè s . L a
tr a je c to ir e t
(pit, b) e s t e n e ffe t, a u s e n s p r é c is d e l ’é g a lité é ta b lie , im a g e d e la tr a
j e c t o ir e 1 1 -^ (p{t, a) p a r l ’e n d o m o r p h is m e ipib). O n r e c o n n a ît e n a u n p o in t g é n é r a te u r
e t e n r
(p{t, a) u n e tr a je c to ir e g é n é r a tr ic e d u s y s tè m e .
L a m ê m e r e m a r q u e v a u t p o u r le s o r b ite s , e t o n p o u r r a a p p e le r orbite génératrice
l ’o r b ite Orb(a). D o n c , à d e s e n d o m o r p h is m e s p rè s , le s y s tè m e ne possède qu^une
orbite. E n p a rtic u lie r , si
G Orb(a), l ’o r b ite O rb(b) = Orb{a) e s t autosimilaire p a r
u n e n d o m o r p h is m e tr a n s f o r m a n t a e n b.
4 . 4 . 4
P r e s q u e t o u t e t r a j e c t o i r e e s t g é n é r a t r i c e
P o u r to u t p o in t a d e E /, n o u s a v o n s 'it, (p{t, a) = ip{a)(p(t, a).
• S i E / e s t a s s o c ié à u n e v a le u r p r o p r e r é e lle À, n o u s a v o n s :
if/ia) =
O' P
. . Q[
. . Œ2
• ( ï p - 1
O^p J
, le s ai é ta n t le s c o m p o s a n te s d e a.
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D a n s c e tte é g a lité :
• ai e s t l ’é lé m e n t d e E , d o n t, d a n s n o tr e b a s e ( b a s e d e J o r d a n ) , to u te s les c o o r d o n n é e s
s o n t n u lle s , s a u f :
- la d e r n iè r e , é g a le à 1, d a n s le c a s o ù E / e s t a s s o c ié à d/ G R ;
- l ’a v a n t- d e r n iè r e , é g a le à 1, d a n s le c a s o ù E , e s t a s s o c ié à jjj ± iw i G C .
• T o u t (f)i e s t u n v e c te u r d e d im e n s io n d im E , ;
• T o u t il/i e s t u n e m a tr ic e d e d im e n s io n d im E /X d im Ej ;
e s t u n p o in t q u e lc o n q u e d e R ” .
L ’é g a lité f o r m e lle 0 ( r , b) =
. (pit, a) d é jà r e n c o n tr é e d a n s c h a q u e E,- e s t d o n c
a u s s i valable p o u r to u t p o in t b de E .
E n r é s u m é , o n a le r é s u lta t s u iv a n t, a é ta n t le p o in t d é fin i c i- a v a n t :
Tout système linéaire possède une trajectoire génératrice
S o it X = A x u n s y s tè m e lin é a ir e s u r E = R " , d e flo t 0(t, ^ ).
A lo r s , p o u r to u t
G E , il e x is te un e n d o m o r p h is m e i//{b) d e R " tel q u e :
V i € IR, (/>(t, b) = i/f(b) .(l>(t,a)
'bi^
• a =
, e i b = •
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kD
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L e s y s tè m e n e p o s s è d e d o n c qu^une trajectoire à d e s e n d o m o r p h is m e s p rè s . L a
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(pit, b) e s t e n e ffe t, a u s e n s p r é c is d e l ’é g a lité é ta b lie , im a g e d e la tr a
j e c t o ir e 1 1 -^ (p{t, a) p a r l ’e n d o m o r p h is m e ipib). O n r e c o n n a ît e n a u n p o in t g é n é r a te u r
e t e n r
(p{t, a) u n e tr a je c to ir e g é n é r a tr ic e d u s y s tè m e .
L a m ê m e r e m a r q u e v a u t p o u r le s o r b ite s , e t o n p o u r r a a p p e le r orbite génératrice
l ’o r b ite Orb(a). D o n c , à d e s e n d o m o r p h is m e s p rè s , le s y s tè m e ne possède qu^une
orbite. E n p a rtic u lie r , si
G Orb(a), l ’o r b ite O rb(b) = Orb{a) e s t autosimilaire p a r
u n e n d o m o r p h is m e tr a n s f o r m a n t a e n b.
4 . 4 . 4
P r e s q u e t o u t e t r a j e c t o i r e e s t g é n é r a t r i c e
P o u r to u t p o in t a d e E /, n o u s a v o n s 'it, (p{t, a) = ip{a)(p(t, a).
• S i E / e s t a s s o c ié à u n e v a le u r p r o p r e r é e lle À, n o u s a v o n s :
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O' P
. . Q[
. . Œ2
• ( ï p - 1
O^p J
, le s ai é ta n t le s c o m p o s a n te s d e a.
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