Chapitre 4 • Stabilité des systèmes linéaires
"D
O
C
Q
tH
O
CM
x :
ai
>C L
O
U
C o m p te te n u d e l ’e x p r e s s io n d e (p{t, a) o n c o n s ta te q u e :
( C p
d p C p - \
- d p - \
• • • • ■ ■ c \
d p
C p d p - 1
C p - \
• ■ • • •• d i
C\
0
0
C p
d p
• • • • • ■ C2 - d 2
0
0
à p
C p
■ ■ ■ • • • d 2
C2
C P dp
0 dr c n )
Cf)(t, a)
c ’e s t- à - d ir e :
(//(b)
D a n s to u t Ei a s s o c ié k/j ± ico
p o u r to u t b e E i,
b) = ijj{b) . 0 (r, a)
o ù ip {b ) r e p r é s e n te u n e n d o m o r p h is m e d e R^^^. D a n s le c a s p r é s e n t a u s si, n o u s i d e n
tifio n s t i-> (p{t, a ) c o m m e tra je c to ir e g é n é r a tr ic e e t a c o m m e p o in t g é n é r a te u r a u x
s e n s d é fin is a u § 4 .4 .1 .
S i d im E i = 2 ( p = \), A" e s t s e m i- s im p le e t i//{b) e s t u n e s im ilitu d e p la n e .
4 . 4 . 3
U n e t r a j e c t o i r e g é n é r a t r i c e d a n s E = R "
N o u s v e n o n s d ’é ta b lir (/)(t, b) = i//(b).
a ), v a lid e a u s e in d e to u t s o u s - e s p a c e E /
in v a r ia n t p a r le flo t e t a s s o c ié à u n e v a le u r p r o p re d E R o u à u n c o u p le d e v a le u rs
p r o p r e s p ± iù j e C . D a n s l ’e x p r e s s io n d u flo t a u s e in d e E /, n o u s a v o n s o m is l ’in d ic e /
p o u r a llé g e r l ’é c ritu r e . R é h a b ilito n s c e t in d ic e e n a p p e la n t :
• ûi le p o in t d e E / a n té r ie u r e m e n t a p p e lé a ;
• bi le p o in t a r b itr a ir e d e E , a n té r ie u r e m e n t a p p e lé b ;
• 0 / le flo t r é d u it a u s o u s - e s p a c e in v a r ia n t E , ;
•
l ’e n d o m o r p h is m e d e E,- a s s o c ié c o m m e o n l ’a v u à bi.
A lo r s , n o u s p o u v o n s r e g r o u p e r le s r é s u lta ts p r é c é d e n ts d a n s l ’é n o n c é :
V/ G { 1 , ...,
^bi G E /, (pi{t, bi) = ip iib i). (piit, ai). M a tr ic ie lle m e n t :
((plit, ¿?l)j
(il/\{b\)
0
•
0 ^ r 0 i( r , ai)\
(plit, b2)
—
0
ipl{b2)
0
(p2{t, 02)
bq)/
. 0
............... • ^q{bq),
^q)j
(p{t, b)
0 (/?)
(p(t, a)
60
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C o m p te te n u d e l ’e x p r e s s io n d e (p{t, a) o n c o n s ta te q u e :
( C p
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- d p - \
• • • • ■ ■ c \
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C p d p - 1
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• ■ • • •• d i
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C p
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• • • • • ■ C2 - d 2
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C p
■ ■ ■ • • • d 2
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0 dr c n )
Cf)(t, a)
c ’e s t- à - d ir e :
(//(b)
D a n s to u t Ei a s s o c ié k/j ± ico
p o u r to u t b e E i,
b) = ijj{b) . 0 (r, a)
o ù ip {b ) r e p r é s e n te u n e n d o m o r p h is m e d e R^^^. D a n s le c a s p r é s e n t a u s si, n o u s i d e n
tifio n s t i-> (p{t, a ) c o m m e tra je c to ir e g é n é r a tr ic e e t a c o m m e p o in t g é n é r a te u r a u x
s e n s d é fin is a u § 4 .4 .1 .
S i d im E i = 2 ( p = \), A" e s t s e m i- s im p le e t i//{b) e s t u n e s im ilitu d e p la n e .
4 . 4 . 3
U n e t r a j e c t o i r e g é n é r a t r i c e d a n s E = R "
N o u s v e n o n s d ’é ta b lir (/)(t, b) = i//(b).
a ), v a lid e a u s e in d e to u t s o u s - e s p a c e E /
in v a r ia n t p a r le flo t e t a s s o c ié à u n e v a le u r p r o p re d E R o u à u n c o u p le d e v a le u rs
p r o p r e s p ± iù j e C . D a n s l ’e x p r e s s io n d u flo t a u s e in d e E /, n o u s a v o n s o m is l ’in d ic e /
p o u r a llé g e r l ’é c ritu r e . R é h a b ilito n s c e t in d ic e e n a p p e la n t :
• ûi le p o in t d e E / a n té r ie u r e m e n t a p p e lé a ;
• bi le p o in t a r b itr a ir e d e E , a n té r ie u r e m e n t a p p e lé b ;
• 0 / le flo t r é d u it a u s o u s - e s p a c e in v a r ia n t E , ;
•
l ’e n d o m o r p h is m e d e E,- a s s o c ié c o m m e o n l ’a v u à bi.
A lo r s , n o u s p o u v o n s r e g r o u p e r le s r é s u lta ts p r é c é d e n ts d a n s l ’é n o n c é :
V/ G { 1 , ...,
^bi G E /, (pi{t, bi) = ip iib i). (piit, ai). M a tr ic ie lle m e n t :
((plit, ¿?l)j
(il/\{b\)
0
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0 ^ r 0 i( r , ai)\
(plit, b2)
—
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0
(p2{t, 02)
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