4.4. Trajectoires génératrices d’un système linaire
est le transformé du descendant ( m ê m e c h o s e p o u r le s a s c e n d a n ts ) . D a n s le c a s o ù ij/
e s t b ije c tiv e , c ’e s t la r e s tr ic tio n d ’u n e conjugaison à u n e o rb ite .
C e r é s u lta t c o n c e r n e le s tr a je c to ir e s ; il e s t d o n c p lu s f o r t q u e le p r é c é d e n t, q u i
c o n c e r n a it le s o r b ite s . N o u s a llo n s le m o n tr e r a p rè s q u e lq u e s r a p p e ls .
S o it X = A x un s y s tè m e lin é a ir e s u r E = W^. D a n s u n e b a s e c o n v e n a b le , A e s t s o u s
f o rm e r é d u ite d e J o r d a n : e lle e s t d o n c b lo c - d ia g o n a le . C e tte s tr u c tu r e e s t lié e à la
d é c o m p o s itio n d e E c o m m e s o m m e d ir e c te d e q s o u s - e s p a c e s : E = ■ E \ ® ••• ® Ec
C h a q u e e s p a c e E , e s t in v a r ia n t p a r le flo t e t a tta c h é à u n e v a le u r p r o p re r é e lle o u à
u n c o u p le d e v a le u r s p r o p r e s c o m p le x e s c o n ju g u é e s , c o m m e le p r é c is e l ’a n n e x e 4.
C o m p te te n u d e l ’in v a r ia n c e d e s E /, l ’é tu d e d u flo t s e r a m è n e à l ’é tu d e d u flo t sur
chacun des Ei.
4 .4 .1
U n e t r a j e c t o i r e g é n é r a t r i c e d a n s
a s s o c i é à .1 € R
N o u s a v o n s v u a u § 4 .2 .2 ( c a s [ ^ ) q u e l ’é q u a tio n d u s y s tè m e r é d u it à £ , e s t :
X = J X , J é ta n t la m a tr ic e p x p s u iv a n te , a v e c p > \ :
U
1
0^
J =
0
; o n a d o n c le flo t : V/? G E /, (p{t, b) = e'^^b, a v e c :
■ a
O
c
=3
Q
< 4 3
tH
O
( N
X I
ai
>Q .
O
U
û
@
e " =
= £>'"
1 t f i j l
0 1 1
0 0 1
0
( p - \ ) \
tP -2
(P - 2 )!
r / î i j
C o n s id é r o n s a lo r s a =
0
e t u n p o in t q u e lc o n q u e b d e
a v e c b =
P i
A lo r s , (f>(t, b) = e'^'.b = e'^'
% + l 3 2 t + P i
\ +
p 2 + P i t
+ . . . + p p t P - ^ K p - l ) \
■ P p t
P p
57
est le transformé du descendant ( m ê m e c h o s e p o u r le s a s c e n d a n ts ) . D a n s le c a s o ù ij/
e s t b ije c tiv e , c ’e s t la r e s tr ic tio n d ’u n e conjugaison à u n e o rb ite .
C e r é s u lta t c o n c e r n e le s tr a je c to ir e s ; il e s t d o n c p lu s f o r t q u e le p r é c é d e n t, q u i
c o n c e r n a it le s o r b ite s . N o u s a llo n s le m o n tr e r a p rè s q u e lq u e s r a p p e ls .
S o it X = A x un s y s tè m e lin é a ir e s u r E = W^. D a n s u n e b a s e c o n v e n a b le , A e s t s o u s
f o rm e r é d u ite d e J o r d a n : e lle e s t d o n c b lo c - d ia g o n a le . C e tte s tr u c tu r e e s t lié e à la
d é c o m p o s itio n d e E c o m m e s o m m e d ir e c te d e q s o u s - e s p a c e s : E = ■ E \ ® ••• ® Ec
C h a q u e e s p a c e E , e s t in v a r ia n t p a r le flo t e t a tta c h é à u n e v a le u r p r o p re r é e lle o u à
u n c o u p le d e v a le u r s p r o p r e s c o m p le x e s c o n ju g u é e s , c o m m e le p r é c is e l ’a n n e x e 4.
C o m p te te n u d e l ’in v a r ia n c e d e s E /, l ’é tu d e d u flo t s e r a m è n e à l ’é tu d e d u flo t sur
chacun des Ei.
4 .4 .1
U n e t r a j e c t o i r e g é n é r a t r i c e d a n s
a s s o c i é à .1 € R
N o u s a v o n s v u a u § 4 .2 .2 ( c a s [ ^ ) q u e l ’é q u a tio n d u s y s tè m e r é d u it à £ , e s t :
X = J X , J é ta n t la m a tr ic e p x p s u iv a n te , a v e c p > \ :
U
1
0^
J =
0
; o n a d o n c le flo t : V/? G E /, (p{t, b) = e'^^b, a v e c :
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C o n s id é r o n s a lo r s a =
0
e t u n p o in t q u e lc o n q u e b d e
a v e c b =
P i
A lo r s , (f>(t, b) = e'^'.b = e'^'
% + l 3 2 t + P i
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+ . . . + p p t P - ^ K p - l ) \
■ P p t
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