Chapitre 4 • Stabilité des systèmes linéaires
O n o b tie n t a lo r s le r é s u lta t p lu s g é n é ra l :
D e u x s y s tè m e s d y n a m iq u e s lin é a ir e s a s s o c ié s à d e s e n d o m o r p h is m e s h y p e r b o
liq u e s d e m ê m e in d ic e s o n t to p o lo g iq u e m e n t c o n ju g u é s .
À titre d ’illu s tr a tio n , o n p o u r r a s e r e p o r te r a u x ta b le a u x I e t II (§ 5 .2 ) : le s q u a tr e
c a s 1, 6, 8 e t 12 c o r r e s p o n d e n t à d e s s y s tè m e s s e m i- s im p le s a s y m p to tiq u e m e n t
s ta b le s , d e m ê m e in d ic e (2 , 0 , 0 ). Il y a c o n ju g a is o n , b ie n q u e le s o r b ite s d e c e s
s y s tè m e s a ie n t d e s p r o p r ié té s m é tr iq u e s ( e t m ê m e a ffin e s ) trè s d iffé re n te s .
4 . 3 . 3 C a s d e s s y s t è m e s n o n - h y p e r b o l i q u e s
D a n s le c a s d e s y s tè m e s n o n - h y p e r b o liq u e s , m ê m e d ’in d ic e s id e n tiq u e s , il n ’y a p lu s
n é c e s s a ir e m e n t c o n ju g a is o n . A titre d ’e x e m p le , r e p r e n o n s le ta b le a u II : le s tro is c a s
10, 11 e t 14 c o r r e s p o n d e n t a u m ê m e in d ic e (0 , 2 , 0) :
- d a n s le c a s 10, to u t p o in t e s t u n é q u ilib r e s im p le m e n t s ta b le ;
- d a n s le c a s 11, l ’e n s e m b le d e s é q u ilib r e s ( in s ta b le s ) e s t u n e d r o ite ;
- d a n s le c a s 14, 0 e s t le se u l é q u ilib r e , q u i e s t s im p le m e n t s ta b le .
Il n ’y a d o n c p a s c o n s e r v a tio n d e s é q u ilib r e s , c e q u i im p liq u e q u ’a u c u n d e c e s
tro is s y s tè m e s n ’e s t c o n ju g u é à a u c u n d e s d e u x a u tre s . N o to n s q u ’u n e c o n ju g a is o n
c o n s e r v e n o n s e u le m e n t le s é q u ilib r e s m a is a u s s i le u r n a tu r e , c e q u ’a m o n tr é l ’e x e r
c ic e 3 .3 .
■a
O
c
D
Q
kD
O
rs]
X I
ai
>Q .
O
U
4 .4 T r a j e c t o ir e s g é n é r a t r ic e s
d ’un s y s t è m e l in a ir e
O n r e m a r q u e a is é m e n t, c e q u ’illu s tr e n t d é jà c la ir e m e n t le s p o r tr a its d e p h a s e s e n
d im e n s io n 2, q u e la tr a n s f o r m é e d e to u te o r b ite p a r h o m o th é tie d e c e n tr e 0 e t d e
r a p p o r t a r b itr a ir e 4 G R e s t a u s s i u n e o r b ite ; si 4 = 0 , o n o b tie n t l ’é q u ilib r e 0 e n ta n t
q u ’o rb ite .
M a is il y a p lu s : p o u r p r e s q u e to u t p o in t a e
( c ’e s t- à - d ir e h o rs d ’u n e n s e m b le
d e m e s u r e n u lle ) e t tout p o in t b de
Orb{b) e s t l ’h o m o lo g u e d e Orb{a) d a n s u n e
a p p lic a tio n lin é a ir e tr a n s f o r m a n t a e n b. Il e n r é s u lte q u ’a u s e in d ’u n e m ê m e o r b ite
d e u x p o in ts s o n t in d is c e r n a b le s é g a le m e n t « à u n e a p p lic a tio n lin é a ir e p r è s » ; le s e n s
p r é c is d e c e tte a s s e r tio n e s t d o n n é p lu s lo in .
P lu s in té r e s s a n t e n c o r e : l ’a p p lic a tio n lin é a ir e ifj tr a n s f o r m a n t Orb{a) e n Orb{b)
respecte le flo t, a u s e n s o ù n o u s l ’a v o n s d é fin i à p r o p o s d e la c o n ju g a is o n :
S t G R , (i/^o0 ) (i, a) = (p[t, il/{d)\ = 0 (/, b), c ’e s t- à - d ir e : le descendant du transformé
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O n o b tie n t a lo r s le r é s u lta t p lu s g é n é ra l :
D e u x s y s tè m e s d y n a m iq u e s lin é a ir e s a s s o c ié s à d e s e n d o m o r p h is m e s h y p e r b o
liq u e s d e m ê m e in d ic e s o n t to p o lo g iq u e m e n t c o n ju g u é s .
À titre d ’illu s tr a tio n , o n p o u r r a s e r e p o r te r a u x ta b le a u x I e t II (§ 5 .2 ) : le s q u a tr e
c a s 1, 6, 8 e t 12 c o r r e s p o n d e n t à d e s s y s tè m e s s e m i- s im p le s a s y m p to tiq u e m e n t
s ta b le s , d e m ê m e in d ic e (2 , 0 , 0 ). Il y a c o n ju g a is o n , b ie n q u e le s o r b ite s d e c e s
s y s tè m e s a ie n t d e s p r o p r ié té s m é tr iq u e s ( e t m ê m e a ffin e s ) trè s d iffé re n te s .
4 . 3 . 3 C a s d e s s y s t è m e s n o n - h y p e r b o l i q u e s
D a n s le c a s d e s y s tè m e s n o n - h y p e r b o liq u e s , m ê m e d ’in d ic e s id e n tiq u e s , il n ’y a p lu s
n é c e s s a ir e m e n t c o n ju g a is o n . A titre d ’e x e m p le , r e p r e n o n s le ta b le a u II : le s tro is c a s
10, 11 e t 14 c o r r e s p o n d e n t a u m ê m e in d ic e (0 , 2 , 0) :
- d a n s le c a s 10, to u t p o in t e s t u n é q u ilib r e s im p le m e n t s ta b le ;
- d a n s le c a s 11, l ’e n s e m b le d e s é q u ilib r e s ( in s ta b le s ) e s t u n e d r o ite ;
- d a n s le c a s 14, 0 e s t le se u l é q u ilib r e , q u i e s t s im p le m e n t s ta b le .
Il n ’y a d o n c p a s c o n s e r v a tio n d e s é q u ilib r e s , c e q u i im p liq u e q u ’a u c u n d e c e s
tro is s y s tè m e s n ’e s t c o n ju g u é à a u c u n d e s d e u x a u tre s . N o to n s q u ’u n e c o n ju g a is o n
c o n s e r v e n o n s e u le m e n t le s é q u ilib r e s m a is a u s s i le u r n a tu r e , c e q u ’a m o n tr é l ’e x e r
c ic e 3 .3 .
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X I
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4 .4 T r a j e c t o ir e s g é n é r a t r ic e s
d ’un s y s t è m e l in a ir e
O n r e m a r q u e a is é m e n t, c e q u ’illu s tr e n t d é jà c la ir e m e n t le s p o r tr a its d e p h a s e s e n
d im e n s io n 2, q u e la tr a n s f o r m é e d e to u te o r b ite p a r h o m o th é tie d e c e n tr e 0 e t d e
r a p p o r t a r b itr a ir e 4 G R e s t a u s s i u n e o r b ite ; si 4 = 0 , o n o b tie n t l ’é q u ilib r e 0 e n ta n t
q u ’o rb ite .
M a is il y a p lu s : p o u r p r e s q u e to u t p o in t a e
( c ’e s t- à - d ir e h o rs d ’u n e n s e m b le
d e m e s u r e n u lle ) e t tout p o in t b de
Orb{b) e s t l ’h o m o lo g u e d e Orb{a) d a n s u n e
a p p lic a tio n lin é a ir e tr a n s f o r m a n t a e n b. Il e n r é s u lte q u ’a u s e in d ’u n e m ê m e o r b ite
d e u x p o in ts s o n t in d is c e r n a b le s é g a le m e n t « à u n e a p p lic a tio n lin é a ir e p r è s » ; le s e n s
p r é c is d e c e tte a s s e r tio n e s t d o n n é p lu s lo in .
P lu s in té r e s s a n t e n c o r e : l ’a p p lic a tio n lin é a ir e ifj tr a n s f o r m a n t Orb{a) e n Orb{b)
respecte le flo t, a u s e n s o ù n o u s l ’a v o n s d é fin i à p r o p o s d e la c o n ju g a is o n :
S t G R , (i/^o0 ) (i, a) = (p[t, il/{d)\ = 0 (/, b), c ’e s t- à - d ir e : le descendant du transformé
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