4.3. Stabilité structurelle et conjugaison
- e n p r e n a n t e n c o m p te la c r o is s a n c e a ffin e d e l ’a r g u m e n t ^ d e ^ e n f o n c tio n d u
te m p s .
C e s d e u x e x ig e n c e s s e tr a d u is e n t p a r l ’h o m é o m o r p h is m e s u iv a n t d e c o n ju g a is o n :
0) = (p~^, 0 - ù j I n p )
P a r d é fin itio n , ip e s t u n e c o n ju g a is o n si e t s e u le m e n t si
o 0 i = (p2 0 ip :
(ipo(pi)[t, ip , 9 )] = ip { p e ~ \ 6)
= i p ~ ^ e ^ \ 0 - ù j \ n ( p e - ' ) )
= ip~ ^
6 - ù )\ n p + ùjt)
(02 O ip)[t, (p, 6)] = (p2[t, lp (p , 6 )]
= 02f^ (P"^, 0 - ù j\ n p )]
= (p~^
0 - ùj\np + ojt)
O n a 0 O 01 = 02 ° 0 , c e q u i p r o u v e q u e 0 e s t b ie n u n e c o n ju g a is o n .
Cas général : c e q u i p r é c è d e e s t v a la b le d a n s c h a c u n d e s s o u s -e s p a c e s a s s o c ié s
a u x v a le u r s p r o p re s d e l ’e n d o m o r p h is m e . C e la im p liq u e la p r o p o s itio n é n o n c é e e n
d é b u t d e p a r a g r a p h e .
■a
O
c
D
Û
kO
tH
O
rM
(y)
X I
ai
>Q.
O
U
û
©
Remarques
1. À une conjugaison topologique près, il existe un seul système dynamique linéaire
semi-simple asymptotiquement stable de dimension n. On peut donc choisir le
plus simple d’entre eux, qui est le système x = -x.
2. On a vu qu’un système de dimension 2 asymptotiquement stable offre une certaine
variété de portraits de phases. Les trajectoires peuvent en effet, en dehors bien
sûr de l’équilibre qui définit lui-même une trajectoire, être par exemple toutes
des droites, ou toutes des demi-paraboles, ou toutes des spirales centripètes.
Les systèmes correspondants sont néanmoins conjugués, ce qui traduit la grande
souplesse de la conjugaison topologique, qui ne connaît ni longueurs ni angles,
mais simplement la notion de voisinage.
A u p r ix d ’u n e d é m o n s tr a tio n p lu s c o m p le x e p o u r la q u e lle n o u s re n v o y o n s à d e s
o u v r a g e s s p é c ia lis é s , le r é s u lta t c i- a v a n t se g é n é r a lis e d o u b le m e n t :
• a u c a s d e s y s tè m e s lin é a ir e s p o u r le s q u e ls A n ’e s t p a s d ia g o n a lis a b le d a n s C , c ’e s tà -d ir e q u i n e s o n t p a s s e m i- s im p le s ;
• au c a s o ù le s s y s tè m e n e s o n t p lu s n é c e s s a ir e m e n t s ta b le s , m a is r e s te n t h y p e r b o
liq u e s .
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- e n p r e n a n t e n c o m p te la c r o is s a n c e a ffin e d e l ’a r g u m e n t ^ d e ^ e n f o n c tio n d u
te m p s .
C e s d e u x e x ig e n c e s s e tr a d u is e n t p a r l ’h o m é o m o r p h is m e s u iv a n t d e c o n ju g a is o n :
0) = (p~^, 0 - ù j I n p )
P a r d é fin itio n , ip e s t u n e c o n ju g a is o n si e t s e u le m e n t si
o 0 i = (p2 0 ip :
(ipo(pi)[t, ip , 9 )] = ip { p e ~ \ 6)
= i p ~ ^ e ^ \ 0 - ù j \ n ( p e - ' ) )
= ip~ ^
6 - ù )\ n p + ùjt)
(02 O ip)[t, (p, 6)] = (p2[t, lp (p , 6 )]
= 02f^ (P"^, 0 - ù j\ n p )]
= (p~^
0 - ùj\np + ojt)
O n a 0 O 01 = 02 ° 0 , c e q u i p r o u v e q u e 0 e s t b ie n u n e c o n ju g a is o n .
Cas général : c e q u i p r é c è d e e s t v a la b le d a n s c h a c u n d e s s o u s -e s p a c e s a s s o c ié s
a u x v a le u r s p r o p re s d e l ’e n d o m o r p h is m e . C e la im p liq u e la p r o p o s itio n é n o n c é e e n
d é b u t d e p a r a g r a p h e .
■a
O
c
D
Û
kO
tH
O
rM
(y)
X I
ai
>Q.
O
U
û
©
Remarques
1. À une conjugaison topologique près, il existe un seul système dynamique linéaire
semi-simple asymptotiquement stable de dimension n. On peut donc choisir le
plus simple d’entre eux, qui est le système x = -x.
2. On a vu qu’un système de dimension 2 asymptotiquement stable offre une certaine
variété de portraits de phases. Les trajectoires peuvent en effet, en dehors bien
sûr de l’équilibre qui définit lui-même une trajectoire, être par exemple toutes
des droites, ou toutes des demi-paraboles, ou toutes des spirales centripètes.
Les systèmes correspondants sont néanmoins conjugués, ce qui traduit la grande
souplesse de la conjugaison topologique, qui ne connaît ni longueurs ni angles,
mais simplement la notion de voisinage.
A u p r ix d ’u n e d é m o n s tr a tio n p lu s c o m p le x e p o u r la q u e lle n o u s re n v o y o n s à d e s
o u v r a g e s s p é c ia lis é s , le r é s u lta t c i- a v a n t se g é n é r a lis e d o u b le m e n t :
• a u c a s d e s y s tè m e s lin é a ir e s p o u r le s q u e ls A n ’e s t p a s d ia g o n a lis a b le d a n s C , c ’e s tà -d ir e q u i n e s o n t p a s s e m i- s im p le s ;
• au c a s o ù le s s y s tè m e n e s o n t p lu s n é c e s s a ir e m e n t s ta b le s , m a is r e s te n t h y p e r b o
liq u e s .
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