Chapitre 4 • Stabilité des systèmes linéaires
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13
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(y)
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C L
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4 . 3 . 2
C o n j u g a i s o n d e s y s t è m e s h y p e r b o l i q u e s
N o u s v e n o n s d ’é n o n c e r la p r o p rié té d e p e r s is ta n c e d u c a r a c tè r e h y p e r b o liq u e d ’u n
s y s tè m e lin é a ire . C e lle - c i p e u t s ’e x p r im e r d e f a ç o n c o n c is e : Vindice d^un endomorphisme hyperbolique est robuste ( s o u s - e n te n d u p a r r a p p o r t à u n e v a ria tio n d e s
p a r a m è tr e s d é f in is s a n t A , p a r e x e m p le le s é lé m e n ts d e la m a tr ic e A ).
N o u s a llo n s m o n tr e r c e r é s u lta t p lu s p r é c is q u i m e t e n j e u la c o n ju g a is o n d e s s y s
tè m e s :
U n s y s tè m e d y n a m iq u e lin é a ir e s e m i- s im p le x = A .x (x e M!^) a s y m p to tiq u e m e n t
s ta b le e s t t o p o lo g iq u e m e n t c o n ju g u é a u s y s tè m e x = - x .
P o u r c e la , p la ç o n s - n o u s d a n s u n p r e m ie r te m p s d a n s l ’u n d e s s o u s -e s p a c e s
E\,, Eq in v a ria n ts p a r A é v o q u é s a u § 4 .2 .1 . C e s e s p a c e s s o n t d e d im e n s io n 1
( c o r r e s p o n d a n t à u n e v a le u r p r o p re r é e lle À) o u 2 ( c o r r e s p o n d a n t à d e u x r a c in e s c o m
p le x e s c o n ju g u é e s ) .
• Cas d’un système de dimension 1 : s o it y l ’é ta t. S o n é q u a tio n d ’é v o lu tio n e s t
ij = À y, a v e c d < 0. C e s y s tè m e e s t c o n ju g u é a u s y s tè m e d ’é q u a tio n x = - x .
{
x~ ^ si JC ^ 0
Ix'l
SI X
O
E n e ffe t, si .V > 0, ij = -Àx~^~^ x = -Àx~'^~^ ( - x ) = Àx~^.
S i X < 0, ij - - À \x\~'^
O n r e tr o u v e b ie n d a n s to u s le s c a s ÿ = À y, œ q u i m o n tr e q u e ip, b ic o n tin u , r é a lis e
u n e c o n ju g a is o n to p o lo g iq u e .
• Cas d’un système de dimension 2 : d a n s u n r e p è r e c o n v e n a b le d e R ^ ,
l ’é ta t y =
j v é rifie
j “
^ j ■
j ’
s ta b ilité a s y m p to tiq u e im p liq u a n t
P < 0 . L e s o r b ite s s o n t d e s s p ir a le s lo g a r ith m iq u e s : le s c o o r d o n n é e s p o la ir e s (p , 0)
p e r m e tte n t d ’e x p r im e r p lu s s im p le m e n t le s flo ts (p\ e t 02, r e s p e c tiv e m e n t d u s y s
tè m e JC = -JC (jc € R ^ ) e t d u p r é s e n t s y s tè m e . E n e ffe t, o n a p o u r le s d e u x s y s tè m e s
u n e d é c r o is s a n c e e x p o n e n tie lle d u m o d u le . L ’a r g u m e n t d e x r e s te c o n s ta n t, c e lu i
d e y e s t f o n c tio n a ffin e d u te m p s . P a r c o n s é q u e n t :
01 [L (p , 0)] = {pe~ \ 6)
02ÎL (p , ^ )] = ip e ^ \ e + cot)
N o u s a llo n s c o n ju g u e r c e s d e u x s y s tè m e s :
- e n o p é r a n t s u r le m o d u le c o m m e n o u s a v o n s f a it p o u r .r d a n s le c a s d ’u n s y s tè m e
d e d im e n s io n 1 ;
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s y s tè m e lin é a ire . C e lle - c i p e u t s ’e x p r im e r d e f a ç o n c o n c is e : Vindice d^un endomorphisme hyperbolique est robuste ( s o u s - e n te n d u p a r r a p p o r t à u n e v a ria tio n d e s
p a r a m è tr e s d é f in is s a n t A , p a r e x e m p le le s é lé m e n ts d e la m a tr ic e A ).
N o u s a llo n s m o n tr e r c e r é s u lta t p lu s p r é c is q u i m e t e n j e u la c o n ju g a is o n d e s s y s
tè m e s :
U n s y s tè m e d y n a m iq u e lin é a ir e s e m i- s im p le x = A .x (x e M!^) a s y m p to tiq u e m e n t
s ta b le e s t t o p o lo g iq u e m e n t c o n ju g u é a u s y s tè m e x = - x .
P o u r c e la , p la ç o n s - n o u s d a n s u n p r e m ie r te m p s d a n s l ’u n d e s s o u s -e s p a c e s
E\,, Eq in v a ria n ts p a r A é v o q u é s a u § 4 .2 .1 . C e s e s p a c e s s o n t d e d im e n s io n 1
( c o r r e s p o n d a n t à u n e v a le u r p r o p re r é e lle À) o u 2 ( c o r r e s p o n d a n t à d e u x r a c in e s c o m
p le x e s c o n ju g u é e s ) .
• Cas d’un système de dimension 1 : s o it y l ’é ta t. S o n é q u a tio n d ’é v o lu tio n e s t
ij = À y, a v e c d < 0. C e s y s tè m e e s t c o n ju g u é a u s y s tè m e d ’é q u a tio n x = - x .
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E n e ffe t, si .V > 0, ij = -Àx~^~^ x = -Àx~'^~^ ( - x ) = Àx~^.
S i X < 0, ij - - À \x\~'^
O n r e tr o u v e b ie n d a n s to u s le s c a s ÿ = À y, œ q u i m o n tr e q u e ip, b ic o n tin u , r é a lis e
u n e c o n ju g a is o n to p o lo g iq u e .
• Cas d’un système de dimension 2 : d a n s u n r e p è r e c o n v e n a b le d e R ^ ,
l ’é ta t y =
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s ta b ilité a s y m p to tiq u e im p liq u a n t
P < 0 . L e s o r b ite s s o n t d e s s p ir a le s lo g a r ith m iq u e s : le s c o o r d o n n é e s p o la ir e s (p , 0)
p e r m e tte n t d ’e x p r im e r p lu s s im p le m e n t le s flo ts (p\ e t 02, r e s p e c tiv e m e n t d u s y s
tè m e JC = -JC (jc € R ^ ) e t d u p r é s e n t s y s tè m e . E n e ffe t, o n a p o u r le s d e u x s y s tè m e s
u n e d é c r o is s a n c e e x p o n e n tie lle d u m o d u le . L ’a r g u m e n t d e x r e s te c o n s ta n t, c e lu i
d e y e s t f o n c tio n a ffin e d u te m p s . P a r c o n s é q u e n t :
01 [L (p , 0)] = {pe~ \ 6)
02ÎL (p , ^ )] = ip e ^ \ e + cot)
N o u s a llo n s c o n ju g u e r c e s d e u x s y s tè m e s :
- e n o p é r a n t s u r le m o d u le c o m m e n o u s a v o n s f a it p o u r .r d a n s le c a s d ’u n s y s tè m e
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