A
g (/i) =
P 'iz ) - i
- P(z)
d o n c e s t é g a l s u r V à la c o n s ta n te n
4.3. Stabilité structurelle et conjugaison
e s t c o n tin u e s u r V c o n n e x e
dz ^ e s t à v a le u r s d a n s N
[ v a u t n~ p o u r A = A q ( v o ir a n n e x e 5 )
E n c o n s id é r a n t le d e m i- p la n Re(z) > 0 , o n d é fin it d e f a ç o n a n a lo g u e
e t
A lo r s :
A ^ g ^ { A ) = =- r
2Î7T Jf+
P 'iz )
P iz)
e s t c o n tin u e s u r
c o n n e x e
dz \ e s t à v a le u rs d a n s N
v a u t rF p o u r A = A o (v o ir a n n e x e 5 )
d o n c e s t é g a l s u r
à la c o n s ta n te n
C o m m e n~ + n = n, o n a « f a it le p le in » d e s v a le u r s p r o p re s d a n s A " U A : e n
d ’a u tr e s te r m e s , e n p r e n a n t A s u ff is a m m e n t p r o c h e d e A o, o n n e fa it p a s a p p a ra îtr e
d e r a c in e d e P e n d e h o r s d e A “ U A “^. D o n c , d a n s le v o is in a g e V (A o) = V “ 0
l ’in d ic e d e A r e s te é g a l à (n~, 0 , n'^). O n r e tie n d r a q u ’il y a p erm a n en ce de P in d ice
d a n s le c a s d ’u n e n d o m o r p h is m e h y p e r b o liq u e . A u tr e m e n t d it, le c a r a c tè r e h y p e r b o
liq u e résiste à u n e petite perturbation, e t c e tte d e r n iè r e n ’a ffe c te p a s l ’in d ic e . C e tte
p r o p rié té s ’é n o n c e a in s i :
Persistance du caractère hyperbolique
S i Ao e s t u n e n d o m o r p h is m e h y p e r b o liq u e d e E , a lo r s il e x is te £: > 0 tel q u e si
||A - Aoll <
a lo r s A e s t h y p e r b o liq u e de m êm e in d ice q u e A q.
■ a
O
c
=3
Q
«JD
tH
O
CM
(y)
X I
ai
>Q.
O
U
Remarques
1
S 3.
û
©
Dans le raisonnement précédent, on n’a pas précisé la norme ||.|| choisie dans
l’espace
des endomorphismes. Cela n’a pas d’importance car toutes les normes
d’un espace de dimension finie sont équivalentes. Le nombre s évoqué dans le
résultat est le plus petit des rayons de V~ et
Il résulte de la propriété établie qu’un endomorphisme hyperbolique stable (respectivement instable) reste stable (respectivement instable) après une petite perturbation.
Si en revanche on perturbe un système non-hyperbolique, son indice n’est pas
nécessairement pérenne : une valeur propre située sur l’axe imaginaire (caractéristique de la non-hyperbolicité) peut en effet quitter ce dernier sous l’effet d’une
perturbation d’ampleur arbitrairement faible.
Nous établirons au chapitre 9, à l’occasion de l’étude des bifurcations, un théorème de stabilité structurelle locale étendant le résultat au cas des systèmes nonlinéaires.
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g (/i) =
P 'iz ) - i
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d o n c e s t é g a l s u r V à la c o n s ta n te n
4.3. Stabilité structurelle et conjugaison
e s t c o n tin u e s u r V c o n n e x e
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[ v a u t n~ p o u r A = A q ( v o ir a n n e x e 5 )
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d o n c e s t é g a l s u r
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C o m m e n~ + n = n, o n a « f a it le p le in » d e s v a le u r s p r o p re s d a n s A " U A : e n
d ’a u tr e s te r m e s , e n p r e n a n t A s u ff is a m m e n t p r o c h e d e A o, o n n e fa it p a s a p p a ra îtr e
d e r a c in e d e P e n d e h o r s d e A “ U A “^. D o n c , d a n s le v o is in a g e V (A o) = V “ 0
l ’in d ic e d e A r e s te é g a l à (n~, 0 , n'^). O n r e tie n d r a q u ’il y a p erm a n en ce de P in d ice
d a n s le c a s d ’u n e n d o m o r p h is m e h y p e r b o liq u e . A u tr e m e n t d it, le c a r a c tè r e h y p e r b o
liq u e résiste à u n e petite perturbation, e t c e tte d e r n iè r e n ’a ffe c te p a s l ’in d ic e . C e tte
p r o p rié té s ’é n o n c e a in s i :
Persistance du caractère hyperbolique
S i Ao e s t u n e n d o m o r p h is m e h y p e r b o liq u e d e E , a lo r s il e x is te £: > 0 tel q u e si
||A - Aoll <
a lo r s A e s t h y p e r b o liq u e de m êm e in d ice q u e A q.
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Remarques
1
S 3.
û
©
Dans le raisonnement précédent, on n’a pas précisé la norme ||.|| choisie dans
l’espace
des endomorphismes. Cela n’a pas d’importance car toutes les normes
d’un espace de dimension finie sont équivalentes. Le nombre s évoqué dans le
résultat est le plus petit des rayons de V~ et
Il résulte de la propriété établie qu’un endomorphisme hyperbolique stable (respectivement instable) reste stable (respectivement instable) après une petite perturbation.
Si en revanche on perturbe un système non-hyperbolique, son indice n’est pas
nécessairement pérenne : une valeur propre située sur l’axe imaginaire (caractéristique de la non-hyperbolicité) peut en effet quitter ce dernier sous l’effet d’une
perturbation d’ampleur arbitrairement faible.
Nous établirons au chapitre 9, à l’occasion de l’étude des bifurcations, un théorème de stabilité structurelle locale étendant le résultat au cas des systèmes nonlinéaires.
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