Chapitre 4 • Stabilité des systèmes linéaires
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(y)
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>C L
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4.3 St a b il it é s t r u c t u r e l l e e t c o n ju g a is o n
4 .3 .1
S t a b i l i t é s t r u c t u r e l l e d ’ u n s y s t è m e h y p e r b o l i q u e
N o u s a llo n s d a n s c e p a r a g r a p h e d é m o n tr e r q u e si A e s t h y p e r b o liq u e , to u te m a tr ic e
l ’a p p r o c h a n t a s s e z p r è s (v o ir la r e m a r q u e 1 e n fin d e p a r a g r a p h e ) e s t a u s s i h y p e r b o
liq u e , e t d e m ê m e i n d i c e .
S o it y4o u n e n d o m o r p h is m e h y p e r b o liq u e d e
d ’in d ic e (n~ , 0 , n^). S o n p o ly
n ô m e c a r a c té r is tiq u e Po(z) a d m e t d o n c :
• n~ r a c in e s à p a rtie r é e lle n é g a tiv e ;
•
r a c in e s à p a rtie r é e lle p o s itiv e , a v e c n~ + r P = n
{n~ e t
tie n n e n t c o m p te d e s o r d re s d e m u ltip lic ité )
S o it r ~ u n c o n to u r s im p le d e l o n g u e u r fin ie in c lu s d a n s le d e m i- p la n {z G
C ; Re{z) < 0}, d é lim ita n t u n d o m a in e A " c o n te n a n t le s v a le u r s p r o p re s d e A q à
p a rtie r é e lle n é g a tiv e . C e p e u t ê tre , c o m m e d a n s la fig u re 4 .5 , u n r e c ta n g le p a r c o u r u
d a n s le s e n s p o s it i f e t d e c ô té s p a ra llè le s a u x a x e s.
Figure 4 .5 - Valeurs propres de 4oP o u r u n e n d o m o r p h is m e A q u e lc o n q u e , o n n o te r a \p a ] = (î^Oj
> • • • > (^n-\) le
v e c te u r d e s c o e ffic ie n ts d u p o ly n ô m e P c a r a c té r is tiq u e d e A ;
= 1 e s t fix é.
S o it u n e b o u le o u v e rte B q = B([ P ao] j r > 0 ) d e R ” te lle q u e [ p a ] ^ B q ,^ z ^ f ~ ,
a o + a\z + . . . +
^ 0.
L ’a p p lic a tio n ([p a ], z) ^
P '(z)
a\ + 2a2Z + ... + nz
7n-\
n—l
e s t c o n tin u e
__
P(z)
ÜQ+ a\z + . . . + an-\z^~^ + z"
sur le compact B q x P ~ car le dénominateur, continu, ne s’y annule pas.
O r, l ’a p p lic a tio n A i-^ f ( A ) = [ p a ] d e R'^ d a n s R ” e s t c o n tin u e c a r le s c o m
p o s a n te s d e \ P a ] s o n t d e s f o n c tio n s p o ly n o m ia le s d e d e g ré n d e s c o e ffic ie n ts d e A.
D o n c , / “ ’ (5 ()) e s t u n v o is in a g e d e A q : il c o n tie n t u n e b o u le o u v e rte d e R'^ c e n tr é e
e n A q, q u i e s t u n v o is in a g e c o n n e x e V~ d e A q.
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D o n c , 1 a p p lic a tio n A i-^ |
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• n~ r a c in e s à p a rtie r é e lle n é g a tiv e ;
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= 1 e s t fix é.
S o it u n e b o u le o u v e rte B q = B([ P ao] j r > 0 ) d e R ” te lle q u e [ p a ] ^ B q ,^ z ^ f ~ ,
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