4.2. Flot et stabilité des systèmes linéaires
T J
O
c
rj
û
«JD
tH
O
CM
(y)
X I
OJ
>Q.
O
U
Un exemple
Le système x =
0 1 0^
0 0 1
0 0 0
.JC est déjà mis sous forme canonique.
/\ se compose d’un bloc de jordan unique correspondant à À = 0 ei p = 3.
On a E, = Eu = (f)] E = Ec =
Le système s’écrit aussi :
J C l - J C 2
i2 = ^ 5 ^ 3
±3=0
et s’intégre immédiatement en :
X ](t) = ^af‘+ ht+ c
X2(t) -
at+ h
X 3 (/) -
a
Pour tout réel a, le plan X 3 = a est invariant par le flot.
^2
I
D a n s to u t p la n X3 - a i= - 0 : X2 = at + b oi x\ = ------ h c ------- . L e s tr a je c to ir e s
2a
\
2 a I
s o n t d e s p a r a b o le s d ’a x e O x i , p a r c o u r u e s a v e c l ’a c c é lé r a tio n c o n s ta n te d e m e s u r e \/a
s u iv a n t Ox\ ; il s ’a g it d o n c d ’u n m o u v e m e n t u n if o r m é m e n t a c c é lé r é .
D a n s le p la n x^ = 0 : X2 = b et x\ = b t + c = X2 t + c. L e s tr a je c to ir e s s o n t le s
d r o ite s p a r a llè le s à O x i, p a r c o u r u e s à v ite s s e c o n s ta n te d e m e s u r e b s u iv a n t Ox\ ; il
s ’a g it d o n c d ’u n m o u v e m e n t u n ifo r m e . L e c h a m p x = f ( x ) a la m ê m e f o r m e q u e le
c h a m p d e s v ite s s e s d ’u n é c o u le m e n t p la n « c is a illé ». L ’e n s e m b le d e s é q u ilib r e s e s t
la d r o ite O x\. O n v é rifie s a n s p e in e q u e c e s é q u ilib r e s s o n t in s ta b le s .
• U n e n o tio n im p o r ta n te e s t c e lle d ’h y p e r b o lic ité :
A e s t d it hyperbolique si e t s e u le m e n t si Ec = (j). E n d ’a u tr e s te r m e s , A e s t h y
p e r b o liq u e si e t s e u le m e n t si le s p a rtie s r é e lle s d e s e s v a le u r s p r o p re s s o n t to u te s
d iff é re n te s d e z é ro .
• S i d e p lu s Eu = (f), d o n c si E se r é d u it à
le s y s tè m e e s t hyperbolique stable.
S y m é tr iq u e m e n t, si E se r é d u it à Eu, le s y s tè m e e s t hyperbolique instable.
Définition
O n a p p e lle indice d ’u n e n d o m o r p h is m e A le tr ip le t :
in d ic e (A ) = ( d im E ^ , d i m £ c , dim E u ) , q u ’o n n o te r a (n~ , n^,
û
©
O n a n a tu r e lle m e n t d im E = d im Es + d im Ec + d im Eu
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OJ
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Le système x =
0 1 0^
0 0 1
0 0 0
.JC est déjà mis sous forme canonique.
/\ se compose d’un bloc de jordan unique correspondant à À = 0 ei p = 3.
On a E, = Eu = (f)] E = Ec =
Le système s’écrit aussi :
J C l - J C 2
i2 = ^ 5 ^ 3
±3=0
et s’intégre immédiatement en :
X ](t) = ^af‘+ ht+ c
X2(t) -
at+ h
X 3 (/) -
a
Pour tout réel a, le plan X 3 = a est invariant par le flot.
^2
I
D a n s to u t p la n X3 - a i= - 0 : X2 = at + b oi x\ = ------ h c ------- . L e s tr a je c to ir e s
2a
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s o n t d e s p a r a b o le s d ’a x e O x i , p a r c o u r u e s a v e c l ’a c c é lé r a tio n c o n s ta n te d e m e s u r e \/a
s u iv a n t Ox\ ; il s ’a g it d o n c d ’u n m o u v e m e n t u n if o r m é m e n t a c c é lé r é .
D a n s le p la n x^ = 0 : X2 = b et x\ = b t + c = X2 t + c. L e s tr a je c to ir e s s o n t le s
d r o ite s p a r a llè le s à O x i, p a r c o u r u e s à v ite s s e c o n s ta n te d e m e s u r e b s u iv a n t Ox\ ; il
s ’a g it d o n c d ’u n m o u v e m e n t u n ifo r m e . L e c h a m p x = f ( x ) a la m ê m e f o r m e q u e le
c h a m p d e s v ite s s e s d ’u n é c o u le m e n t p la n « c is a illé ». L ’e n s e m b le d e s é q u ilib r e s e s t
la d r o ite O x\. O n v é rifie s a n s p e in e q u e c e s é q u ilib r e s s o n t in s ta b le s .
• U n e n o tio n im p o r ta n te e s t c e lle d ’h y p e r b o lic ité :
A e s t d it hyperbolique si e t s e u le m e n t si Ec = (j). E n d ’a u tr e s te r m e s , A e s t h y
p e r b o liq u e si e t s e u le m e n t si le s p a rtie s r é e lle s d e s e s v a le u r s p r o p re s s o n t to u te s
d iff é re n te s d e z é ro .
• S i d e p lu s Eu = (f), d o n c si E se r é d u it à
le s y s tè m e e s t hyperbolique stable.
S y m é tr iq u e m e n t, si E se r é d u it à Eu, le s y s tè m e e s t hyperbolique instable.
Définition
O n a p p e lle indice d ’u n e n d o m o r p h is m e A le tr ip le t :
in d ic e (A ) = ( d im E ^ , d i m £ c , dim E u ) , q u ’o n n o te r a (n~ , n^,
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O n a n a tu r e lle m e n t d im E = d im Es + d im Ec + d im Eu
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