D a n s le s 2 c a s , le s y s tè m e r é d u it à E , e s t :
- stable ( m a is p a s a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le ) si /? = 1 ;
- instable û P > 1.
• Trajectoires dans E, c E„
a ) d > 0 d im E , = p
Vjc(), x { t ) =
.P p -\{N t). xo : te n d v e rs ± o o e n m o d u le q u a n d î
oo
h) P > 0 d im E / = 2p
Vx(), x{t) =
.dvàglR(iüt)]. P p -i{N t). xq • IkCOII ^
a v e c t
D a n s le s 2 c a s , le s y s tè m e r é d u it à E / e s t instable.
4 . 2 . 3
T h é o r è m e g é n é r a l d e s t a b i l i t é d e s s y s t è m e s l i n é a i r e s
L e s r é s u lta ts p r é c é d e m m e n t é ta b lis s ’e x p r im e n t p a r le th é o r è m e g é n é ra l s u iv a n t :
Théorème général de stabilité des systèmes linéaires à temps continu
A étan t un en d o m o rp h ism e q u e lco n q u e ré e l d e R”, la re s tric tio n du sy stè m e l i
n é a ire X = A . X à so n so u s-e sp a c e :
- sta b le E s e st
• asym ptotiquem ent stable
- c e n tra l E c e st
• sim plem ent stable s i e lle e st se m i-sim p le
• instable s i e lle n 'e st p a s se m i-sim p le
- in sta b le E u e st
• instable
Chapitre 4 • Stabilité des systèmes linéaires
■ a
O
c
D
Û
U D
tH
O
CM
(y)
X I
ai
>Q .
O
U
Remarques
1. Pour un système linéaire, attractif implique stable donc aussi asymptotiquement
stable, mais nous avons déjà signalé que cette implication n ’est pas valide pour
un système non-linéaire.
2. Le théorème précédent reste valable si on remplace (resp. E^, E^) par un sousespace vectoriel de Es (resp. de E^, EJ invariant par A.
3. Dans Es, la convergence de l’état vers 0 est exponentielle.
4. Dans Ec, deux cas génériques sont possibles. Dans tout sous-espace F de Ec de
dimension p associé à une valeur propre réelle 2 = 0 (ou de dimension 2p associé
à des valeurs propres complexes ±iùj) stable par A :
(a) Si la restriction de A à F est semi-simple, c’est-à-dire si /? = 1 :
l’état x{t) est immobile {À = 0) ou en rotation périodique {p = 0).
Il y a stabilité sim ple de 0 ;
(b) Si en revanche p> \ , ||jc(r)ll croît comme C.r^"' (voir l’exemple ci-après).
L’équilibre 0 est instable.
5. Dans F„, ||jc(r)|| diverge de façon exponentielle.
L’équilibre 0 est instable.
6. Si Eu n’est pas vide, A est instable, mais la réciproque est fausse car l’instabilité
peut provenir du sous-espace central Ec, dans le cas où la restriction de A à Ec
n’est pas semi-simple.
50
- stable ( m a is p a s a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le ) si /? = 1 ;
- instable û P > 1.
• Trajectoires dans E, c E„
a ) d > 0 d im E , = p
Vjc(), x { t ) =
.P p -\{N t). xo : te n d v e rs ± o o e n m o d u le q u a n d î
oo
h) P > 0 d im E / = 2p
Vx(), x{t) =
.dvàglR(iüt)]. P p -i{N t). xq • IkCOII ^
a v e c t
D a n s le s 2 c a s , le s y s tè m e r é d u it à E / e s t instable.
4 . 2 . 3
T h é o r è m e g é n é r a l d e s t a b i l i t é d e s s y s t è m e s l i n é a i r e s
L e s r é s u lta ts p r é c é d e m m e n t é ta b lis s ’e x p r im e n t p a r le th é o r è m e g é n é ra l s u iv a n t :
Théorème général de stabilité des systèmes linéaires à temps continu
A étan t un en d o m o rp h ism e q u e lco n q u e ré e l d e R”, la re s tric tio n du sy stè m e l i
n é a ire X = A . X à so n so u s-e sp a c e :
- sta b le E s e st
• asym ptotiquem ent stable
- c e n tra l E c e st
• sim plem ent stable s i e lle e st se m i-sim p le
• instable s i e lle n 'e st p a s se m i-sim p le
- in sta b le E u e st
• instable
Chapitre 4 • Stabilité des systèmes linéaires
■ a
O
c
D
Û
U D
tH
O
CM
(y)
X I
ai
>Q .
O
U
Remarques
1. Pour un système linéaire, attractif implique stable donc aussi asymptotiquement
stable, mais nous avons déjà signalé que cette implication n ’est pas valide pour
un système non-linéaire.
2. Le théorème précédent reste valable si on remplace (resp. E^, E^) par un sousespace vectoriel de Es (resp. de E^, EJ invariant par A.
3. Dans Es, la convergence de l’état vers 0 est exponentielle.
4. Dans Ec, deux cas génériques sont possibles. Dans tout sous-espace F de Ec de
dimension p associé à une valeur propre réelle 2 = 0 (ou de dimension 2p associé
à des valeurs propres complexes ±iùj) stable par A :
(a) Si la restriction de A à F est semi-simple, c’est-à-dire si /? = 1 :
l’état x{t) est immobile {À = 0) ou en rotation périodique {p = 0).
Il y a stabilité sim ple de 0 ;
(b) Si en revanche p> \ , ||jc(r)ll croît comme C.r^"' (voir l’exemple ci-après).
L’équilibre 0 est instable.
5. Dans F„, ||jc(r)|| diverge de façon exponentielle.
L’équilibre 0 est instable.
6. Si Eu n’est pas vide, A est instable, mais la réciproque est fausse car l’instabilité
peut provenir du sous-espace central Ec, dans le cas où la restriction de A à Ec
n’est pas semi-simple.
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