4.2. Flot et stabilité des systèmes linéaires
2 . L e flo t d ’ u n s y s tè m e lin é a ir e q u e lc o n q u e d a n s un s o u s - e s p a c e E j d e d im e n s io n
2p a s s o c ié à d e u x v a le u r s p r o p r e s c o m p le x e s c o n ju g u é e s p ± ico e s t :
(A I
^
(§ 4 .2 .2 , c a s
xq) =
xq, a v e c K =
E x p lic ite r m a tr ic ie lle m e n t le flo t s u r E j.
L ’é c r ir e in extenso p o u r (/i, îu , p) = ( - 2 , 5 , 3)
/
A
■a
O
c
n
û
«JD
tH
O
CM
(y)
X I
ai
>Q.
O
U
Trajectoires dans les sous-espaces invariants
L e s s o u s - e n s e m b le s in v a r ia n ts p a r A s o n t d e d im e n s io n p ou 2p, p a y a n t é té p r é c é
d e m m e n t d é fin i. R e la tiv e m e n t à la s ta b ilité , le c o m p o r te m e n t d e x (r) e s t d e m ê m e
n a tu r e q u e d a n s le c a s s e m i- s im p le , s a u f d a n s le s o u s - e s p a c e c e n tr a l, d a n s le q u e l
l ’é q u ilib r e 0 p e u t ê tr e s ta b le o u in s ta b le , s e lo n la v a le u r d e p.
• Trajectoires dans E i c E g
a ) d < 0 d im E , = p
Vx(), x ( t ) = e^ ^ Pp-\(N t). xq : te n d v e rs 0 q u a n d t
h) p < 0 d im El = 2p
oo
Vx(), x (r) = e^^. dmg[R(cüt) ] . P p -i(N t). xq : te n d v e rs 0 q u a n d t
D a n s le s 2 c a s , le s y s tè m e r é d u it à Ej e s t asym ptotiquem ent stable.
Trajectoires dans E i c E c
a ) d = 0 d im Ei - p
V xo, x ( 0 = P p-\{N t). Xq. Q u a n d t
• ||x ( 0 || r e s te b o r n é si /? = 1
• ||x (r)|| ^ -1-00 si /7 > 1
h) p = 0 d im Ei = 2p
o o
o o
û
@
V xo, x(t) =d\ag[R(ùJt)].Pp-i(Nt). x q . Q u a n d t
• ||x (/)|| r e s te b o r n é si /7 = 1 ;
• ||x(OII ^ + 00 si /7 > 1
O O
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2 . L e flo t d ’ u n s y s tè m e lin é a ir e q u e lc o n q u e d a n s un s o u s - e s p a c e E j d e d im e n s io n
2p a s s o c ié à d e u x v a le u r s p r o p r e s c o m p le x e s c o n ju g u é e s p ± ico e s t :
(A I
^
(§ 4 .2 .2 , c a s
xq) =
xq, a v e c K =
E x p lic ite r m a tr ic ie lle m e n t le flo t s u r E j.
L ’é c r ir e in extenso p o u r (/i, îu , p) = ( - 2 , 5 , 3)
/
A
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«JD
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CM
(y)
X I
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>Q.
O
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Trajectoires dans les sous-espaces invariants
L e s s o u s - e n s e m b le s in v a r ia n ts p a r A s o n t d e d im e n s io n p ou 2p, p a y a n t é té p r é c é
d e m m e n t d é fin i. R e la tiv e m e n t à la s ta b ilité , le c o m p o r te m e n t d e x (r) e s t d e m ê m e
n a tu r e q u e d a n s le c a s s e m i- s im p le , s a u f d a n s le s o u s - e s p a c e c e n tr a l, d a n s le q u e l
l ’é q u ilib r e 0 p e u t ê tr e s ta b le o u in s ta b le , s e lo n la v a le u r d e p.
• Trajectoires dans E i c E g
a ) d < 0 d im E , = p
Vx(), x ( t ) = e^ ^ Pp-\(N t). xq : te n d v e rs 0 q u a n d t
h) p < 0 d im El = 2p
oo
Vx(), x (r) = e^^. dmg[R(cüt) ] . P p -i(N t). xq : te n d v e rs 0 q u a n d t
D a n s le s 2 c a s , le s y s tè m e r é d u it à Ej e s t asym ptotiquem ent stable.
Trajectoires dans E i c E c
a ) d = 0 d im Ei - p
V xo, x ( 0 = P p-\{N t). Xq. Q u a n d t
• ||x ( 0 || r e s te b o r n é si /? = 1
• ||x (r)|| ^ -1-00 si /7 > 1
h) p = 0 d im Ei = 2p
o o
o o
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V xo, x(t) =d\ag[R(ùJt)].Pp-i(Nt). x q . Q u a n d t
• ||x (/)|| r e s te b o r n é si /7 = 1 ;
• ||x(OII ^ + 00 si /7 > 1
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