T J
O
c
rj
Q
kD
O
rs]
@
4-J
gi
>Q .
O
U
Chapitre 4 • Stabilité des systèmes linéaires
D o n c ,
.
t
I
1 + N — + --- + N '’ ~ '----------1!
= Pp -\{N t), matrice
polynomiale de degré {p - 1) en i
L a f o rm e
. Pp-\{N t) a tte s te , c o m m e d a n s le c a s d e s s y s tè m e s
s e m i- s im p le s , l ’im p o r ta n c e d u s ig n e d e À.
L e p o ly n ô m e f o rm e l Pk{x) e s t 1 -f- x V l ! + * • • + :^!k\
(A I
^
0
K =
I
A
= ^ . I + d ia g
/0
+ N
N , n ilp o te n te d ’o r d re p = j d im K , e s t c o n s titu é e d e z é ro s à l ’e x c e p tio n d e la
d e u x iè m e s u r d ia g o n a le , c o n s titu é e d e 1. N o ta n t to u jo u r s R{ùJt) la m a tr ic e d e la r o
ta tio n p la n e d ’a n g le ùJt, o n a :
^K, ^ ^ 1 , ^ (diag[/?(wi)]) X P,,-i(A^i),
c a r le s tro is te r m e s m a tr ic ie ls d e l ’e x p r e s s io n d e K c o m m u te n t d e u x à d e u x .
L e c o m p o r te m e n t d e
d é p e n d d u s ig n e d e p.
L e flo t d u s y s tè m e c o m p le t e s t le s u iv a n t :
'd i a g [ e ’' / ’p -i(A fO ]
0
x{t) = (¡)(t, Xo) =
.Xo
^
0
d ia g e^‘ .d i a g [ R ( M ) ] .P p - i m \ )
L e s e s p a c e s E s, Ec e t E^, s e d é f in is s e n t c o m m e d a n s le c a s d e s s y s tè m e s s e m i- s im p le s
(§ 4 .2 .1 ) , e t o n a to u jo u r s E =
0
0
P o u r p e r c e v o ir d e m a n iè r e p lu s c o n c r è te la f o r m u le d o n n a n t le flo t d u s y s tè m e
c o m p le t, o n p o u r r a s e r e p o r te r à l ’e x e rc ic e 4 .1 .
r
—
Exercice 4. / Flot e x p lic ite s u r un s o u s -e s p a c e in v a ria n t
1. L e flo t d ’u n s y s tè m e lin é a ir e q u e lc o n q u e d a n s u n s o u s - e s p a c e Ei d e d im e n s io n
P a s s o c ié à u n e v a le u r p r o p r e r é e lle À e s t (§ 4 .2 .2 , c a s \Y] ) :
xq) =
xo, a v e c :
r o 1
^Jt — ^Àt
t
/ + A ^ —
+
----- —
1!
( p - 1 ) !
, o ù N =
E x p lic ite r m a tr ic ie lle m e n t le flo t s u r E /.
48
O
c
rj
Q
kD
O
rs]
@
4-J
gi
>Q .
O
U
Chapitre 4 • Stabilité des systèmes linéaires
D o n c ,
.
t
I
1 + N — + --- + N '’ ~ '----------1!
= Pp -\{N t), matrice
polynomiale de degré {p - 1) en i
L a f o rm e
. Pp-\{N t) a tte s te , c o m m e d a n s le c a s d e s s y s tè m e s
s e m i- s im p le s , l ’im p o r ta n c e d u s ig n e d e À.
L e p o ly n ô m e f o rm e l Pk{x) e s t 1 -f- x V l ! + * • • + :^!k\
(A I
^
0
K =
I
A
= ^ . I + d ia g
/0
+ N
N , n ilp o te n te d ’o r d re p = j d im K , e s t c o n s titu é e d e z é ro s à l ’e x c e p tio n d e la
d e u x iè m e s u r d ia g o n a le , c o n s titu é e d e 1. N o ta n t to u jo u r s R{ùJt) la m a tr ic e d e la r o
ta tio n p la n e d ’a n g le ùJt, o n a :
^K, ^ ^ 1 , ^ (diag[/?(wi)]) X P,,-i(A^i),
c a r le s tro is te r m e s m a tr ic ie ls d e l ’e x p r e s s io n d e K c o m m u te n t d e u x à d e u x .
L e c o m p o r te m e n t d e
d é p e n d d u s ig n e d e p.
L e flo t d u s y s tè m e c o m p le t e s t le s u iv a n t :
'd i a g [ e ’' / ’p -i(A fO ]
0
x{t) = (¡)(t, Xo) =
.Xo
^
0
d ia g e^‘ .d i a g [ R ( M ) ] .P p - i m \ )
L e s e s p a c e s E s, Ec e t E^, s e d é f in is s e n t c o m m e d a n s le c a s d e s s y s tè m e s s e m i- s im p le s
(§ 4 .2 .1 ) , e t o n a to u jo u r s E =
0
0
P o u r p e r c e v o ir d e m a n iè r e p lu s c o n c r è te la f o r m u le d o n n a n t le flo t d u s y s tè m e
c o m p le t, o n p o u r r a s e r e p o r te r à l ’e x e rc ic e 4 .1 .
r
—
Exercice 4. / Flot e x p lic ite s u r un s o u s -e s p a c e in v a ria n t
1. L e flo t d ’u n s y s tè m e lin é a ir e q u e lc o n q u e d a n s u n s o u s - e s p a c e Ei d e d im e n s io n
P a s s o c ié à u n e v a le u r p r o p r e r é e lle À e s t (§ 4 .2 .2 , c a s \Y] ) :
xq) =
xo, a v e c :
r o 1
^Jt — ^Àt
t
/ + A ^ —
+
----- —
1!
( p - 1 ) !
, o ù N =
E x p lic ite r m a tr ic ie lle m e n t le flo t s u r E /.
48