4.2. Flot et stabilité des systèmes linéaires
4 . 2 . 2
F l o t d ’ u n s y s t è m e l i n é a i r e q u e l c o n q u e
J\
0
D a n s u n e b a s e c o n v e n a b le , A =
Jk
K k + 1
0
Kr,
'Ài 1
'Ai /
a v e c 7/ =
■. 1
et Ki -
■. I
TJ
O
c
= 3
Q
I
O
r\i
g i
>•
Q.
O
U
le s m a tr ic e s 2 x 2 /1/ e t / é ta n t Ai =
e t ^ = ( 1 ? I
\ùJi fi i l
\ 0 1/
C e s m a tr ic e s p e u v e n t c o m m e d a n s le § 4 .2 .1 se r é d u ir e r e s p e c tiv e m e n t à la d im e n s io n
1 X 1 ( s c a la ire 4 ) e t 2 x 2 ( m a tr ic e A). L a m a tr ic e A r e s s o r tit a u c a s g é n é ra l n o n s e m is im p le si l ’u n a u m o in s d e s e s q b lo c s p o s s è d e e ff e c tiv e m e n t u n e s u rd ia g o n a le d e 1
o u d e / .
C o m m e d a n s le c a s s e m i- s im p le , o n a ^
0 £^2 0 * * * 0 Eq, o ù Ej e s t le
s o u s - e s p a c e s ta b le a s s o c ié à Xj o u à ¡ i j ± ic o j. L e s E , é ta n t in v a r ia n ts p a r A , l ’é tu d e
d u flo t se r a m è n e ic i a u s s i à l ’é tu d e d u flo t s u r chacun des E t :
x{t) = (p{t, Xo) =
=
j \ t
0
jJk f
?Kk+] t
0
XQ
g N o u s a llo n s e x a m in e r le s d e u x ty p e s d ’e x p o n e n tie lle s a p p a r a is s a n t d a n s l ’e x p r e s s io n
I d u flo t, e n u tilis a n t le fa it q u e
si ^ e t C c o m m u te n t :
(X 1
0
/ =
û
©
= 4 / H- A^, o ù
e s t n ilp o te n te d ’o r d re p - d im 7 .
47
4 . 2 . 2
F l o t d ’ u n s y s t è m e l i n é a i r e q u e l c o n q u e
J\
0
D a n s u n e b a s e c o n v e n a b le , A =
Jk
K k + 1
0
Kr,
'Ài 1
'Ai /
a v e c 7/ =
■. 1
et Ki -
■. I
TJ
O
c
= 3
Q
I
O
r\i
g i
>•
Q.
O
U
le s m a tr ic e s 2 x 2 /1/ e t / é ta n t Ai =
e t ^ = ( 1 ? I
\ùJi fi i l
\ 0 1/
C e s m a tr ic e s p e u v e n t c o m m e d a n s le § 4 .2 .1 se r é d u ir e r e s p e c tiv e m e n t à la d im e n s io n
1 X 1 ( s c a la ire 4 ) e t 2 x 2 ( m a tr ic e A). L a m a tr ic e A r e s s o r tit a u c a s g é n é ra l n o n s e m is im p le si l ’u n a u m o in s d e s e s q b lo c s p o s s è d e e ff e c tiv e m e n t u n e s u rd ia g o n a le d e 1
o u d e / .
C o m m e d a n s le c a s s e m i- s im p le , o n a ^
0 £^2 0 * * * 0 Eq, o ù Ej e s t le
s o u s - e s p a c e s ta b le a s s o c ié à Xj o u à ¡ i j ± ic o j. L e s E , é ta n t in v a r ia n ts p a r A , l ’é tu d e
d u flo t se r a m è n e ic i a u s s i à l ’é tu d e d u flo t s u r chacun des E t :
x{t) = (p{t, Xo) =
=
j \ t
0
jJk f
?Kk+] t
0
XQ
g N o u s a llo n s e x a m in e r le s d e u x ty p e s d ’e x p o n e n tie lle s a p p a r a is s a n t d a n s l ’e x p r e s s io n
I d u flo t, e n u tilis a n t le fa it q u e
si ^ e t C c o m m u te n t :
(X 1
0
/ =
û
©
= 4 / H- A^, o ù
e s t n ilp o te n te d ’o r d re p - d im 7 .
47