Chapitre 4 • Stabilité des systèmes linéaires
D a n s le s 2 c a s , le s y s tè m e r é d u it à Ei e s t asym ptotiquem ent stable. L ’e x p r e s ­
s io n d e x{t) m o n tr e q u e l ’a r g u m e n t 0 do, x e s t u n e f o n c tio n a ffin e d u te m p s e t
s o n m o d u le p u n e f o n c tio n e x p o n e n tie lle d u te m p s .
L e s o r b ite s s o n t d o n c d e s spirales logarithm iques...
Trajectoires dans E, c E c
a ) /1 = 0 d im E , = 1
0
tout X im mobile
V xo, x{t) = xo : il y a im m o b ilité d e x
b ) yu = 0 d im E¡ = 2
Figure 4 .3 - Orbites circulaires.
Vjcq, Jc(r) = R((jüt)xo : r o ta tio n u n if o r m e a u to u r d e 0.
D a n s le s 2 c a s , le s y s tè m e r é d u it à E / e s t stable.
( m a is p a s a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le ). L e s o r b ite s s o n t d e s cercles.
• Trajectoires dans E/ c E„
a ) /1 > 0 d im E / = 1
V xo, x{t) =
xo : te n d v e rs ± o o q u a n d t
oo
T J
O
c
rj
û
«JD
tH
O
CM
(y)
X I
OJ
>Q.
O
U
b ) yu > 0 d im Ey = 2
Figure 4 .4 - Spirale logarithmique divergente.
V.T0, \\x{t)\\ = e^‘ Il RiùJt) xoll = e^‘ ||vo|| tend vers +oo avec t
D a n s le s 2 c a s , le s y s tè m e r é d u it à E / e s t instable.
L e s o r b ite s s o n t d e s spirales logarithm iques.
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