4.2. Flot et stabilité des systèmes linéaires
■a
O
c
D
Q
kD
O
rs]
ai
>C L
O
U
N o ta n t R{cx)t) c e tte d e r n iè r e m a tr ic e q u i r e p r é s e n te u n e r o ta tio n p la n e d ’a n g le cot,
o n a
R{ùJt).
L e flo t s ’e x p r im e d o n c a u m o y e n d ’u n e m a tr ic e d ia g o n a le p a r b lo c s , le s b lo c s é ta n t
d e d im e n s io n 1 o u 2 :
x(t) = 0 ( r , xo) =
d ia g
0
^
d ia g [e^^. R(ùJt)]^
xo
C e tte f o r m e m o n tr e q u ’a u s e in d e c h a q u e s o u s - e s p a c e E , la s ta b ilité d e l ’é q u ilib r e 0
e s t c o n d itio n n é e p a r le signe de À ou de ¡i c o r r e s p o n d a n t à E /, e n d ’a u tre s te r m e s p a r
le s ig n e d e la p a rtie r é e lle d e la v a le u r p ro p re .
L o r s q u e t te n d v e rs l ’in fin i,
te n d v e rs 0 si d < 0 , r e s te é g a l à 1 si d = 0 , e t
te n d v e rs l ’in fin i si d > 0. C o m m e la m ê m e c o n s ta ta tio n v a u t p o u r yu, il e s t n a tu r e l d e
d é fin ir a in s i le s s o u s - e s p a c e s Es, Ec e t E^ :
1) E ^ = s o u s - e s p a c e stable d e A
s o m m e d ir e c te d e s s o u s - 1 ) négative
2 ) E c = s o u s - e s p a c e central d e A
= e s p a c e s E / a s s o c ié s à d e s v.p. 2 ) nulle
3) E i< = s o u s -e s p a c e instable d e A
d e p a r tie r é e lle :
3 ) positive
L e s in d ic e s s, c e t u d é s ig n e n t le s a d je c tif s a n g la is « s ta b le », « c e n tra l » e t « u n s
ta b le ». C e s d é fin itio n s s ’a p p liq u e n t a u s s i à u n s y s tè m e lin é a ir e q u e lc o n q u e c o m m e
o n le v e rr a a u p a r a g r a p h e 4 .2 .2 .
O n a n a tu r e lle m e n t \ E = Es ® E c ® Eu.
Trajectoires dans les sous-espaces invariants
L e s s o u s - e s p a c e s v e c to r ie ls in v a ria n ts p a r A le s p lu s s im p le s s o n t d e d im e n s io n 1
o u 2 , c e q u i p e r m e t d e d é c r ir e trè s a is é m e n t le s tr a je c to ir e s c o r r e s p o n d a n te s .
• Trajectoires dans E/ c E s
a ) d < 0 d im E / = 1
_______ ^
0
o o
Q
@
V xo, x{t) =
.vo : te n d v e rs 0 q u a n d t
b ) yu < 0 d im E / = 2
Figure 4.2- Spirale logarithmique convergente.
V xo, x{t) -
. R(ùJt) x q : te n d v e rs 0 q u a n d r — > o o
45
■a
O
c
D
Q
kD
O
rs]
ai
>C L
O
U
N o ta n t R{cx)t) c e tte d e r n iè r e m a tr ic e q u i r e p r é s e n te u n e r o ta tio n p la n e d ’a n g le cot,
o n a
R{ùJt).
L e flo t s ’e x p r im e d o n c a u m o y e n d ’u n e m a tr ic e d ia g o n a le p a r b lo c s , le s b lo c s é ta n t
d e d im e n s io n 1 o u 2 :
x(t) = 0 ( r , xo) =
d ia g
0
^
d ia g [e^^. R(ùJt)]^
xo
C e tte f o r m e m o n tr e q u ’a u s e in d e c h a q u e s o u s - e s p a c e E , la s ta b ilité d e l ’é q u ilib r e 0
e s t c o n d itio n n é e p a r le signe de À ou de ¡i c o r r e s p o n d a n t à E /, e n d ’a u tre s te r m e s p a r
le s ig n e d e la p a rtie r é e lle d e la v a le u r p ro p re .
L o r s q u e t te n d v e rs l ’in fin i,
te n d v e rs 0 si d < 0 , r e s te é g a l à 1 si d = 0 , e t
te n d v e rs l ’in fin i si d > 0. C o m m e la m ê m e c o n s ta ta tio n v a u t p o u r yu, il e s t n a tu r e l d e
d é fin ir a in s i le s s o u s - e s p a c e s Es, Ec e t E^ :
1) E ^ = s o u s - e s p a c e stable d e A
s o m m e d ir e c te d e s s o u s - 1 ) négative
2 ) E c = s o u s - e s p a c e central d e A
= e s p a c e s E / a s s o c ié s à d e s v.p. 2 ) nulle
3) E i< = s o u s -e s p a c e instable d e A
d e p a r tie r é e lle :
3 ) positive
L e s in d ic e s s, c e t u d é s ig n e n t le s a d je c tif s a n g la is « s ta b le », « c e n tra l » e t « u n s
ta b le ». C e s d é fin itio n s s ’a p p liq u e n t a u s s i à u n s y s tè m e lin é a ir e q u e lc o n q u e c o m m e
o n le v e rr a a u p a r a g r a p h e 4 .2 .2 .
O n a n a tu r e lle m e n t \ E = Es ® E c ® Eu.
Trajectoires dans les sous-espaces invariants
L e s s o u s - e s p a c e s v e c to r ie ls in v a ria n ts p a r A le s p lu s s im p le s s o n t d e d im e n s io n 1
o u 2 , c e q u i p e r m e t d e d é c r ir e trè s a is é m e n t le s tr a je c to ir e s c o r r e s p o n d a n te s .
• Trajectoires dans E/ c E s
a ) d < 0 d im E / = 1
_______ ^
0
o o
Q
@
V xo, x{t) =
.vo : te n d v e rs 0 q u a n d t
b ) yu < 0 d im E / = 2
Figure 4.2- Spirale logarithmique convergente.
V xo, x{t) -
. R(ùJt) x q : te n d v e rs 0 q u a n d r — > o o
45