Chapitre 4 • Stabilité des systèmes linéaires
A
A
11
^
0
1
Figure 4.1 - La transformation du relieur.
■ >
T J
O
c
rj
û
«JD
tH
O
CM
(y)
X I
OJ
>Q.
O
U
4.2 F l o t e t s t a b il it é d es s y s t è m e s l in é a ir e s
D a n s c e p a r a g r a p h e , o n u tilis e le f a it q u e to u t e n d o m o r p h is m e s ’e x p rim e , d a n s u n e
b a s e c o n v e n a b le , p a r u n e m a tr ic e r é e lle s o u s f o r m e r é d u ite d e J o rd a n .
e s t m u n i d e
la s tr u c tu r e e u c lid ie n n e p o u r la q u e lle c e tte b a s e e s t o r th o n o r m é e . C e c h o ix j u s tif ie le s
r e m a r q u e s g é o m é tr iq u e s f a ite s d a n s c e p a ra g r a p h e . O n y é v o q u e e n e ffe t d e s c e rc le s
e t d e s s p ir a le s lo g a r ith m iq u e s , q u i s o n t d e s n o tio n s e u c lid ie n n e s .
4.2.1 Flot d ’un s y s tè m e lin é a ire se m i-sim p le
/{|
0
D a n s u n e b a s e c o n v e n a b le , A =
Ak
Ak+ 1
0
A
a v e c A ; = 1^^
W l^jJ
R a p p e lo n s q u e E = R ” (a v e c n = 2q - k > q) QSi la s o m m e d ire c te d e q s o u s -
e s p a c e s v e c to r ie ls in v a ria n ts p a r A \ E = E\ ® E i ®
® Eq.
L e s Ei é ta n t in v a r ia n ts p a r A , l ’é tu d e d u flo t se r a m è n e à Vétude du flo t su r ch a cu n
des E i, d o n c s u r d e s s o u s - e s p a c e s v e c to r ie ls d e d im e n s io n 1 (a s s o c ié s à d /) o u 2
( a s s o c ié s à A j), a in s i q u ’e n a tte s te la f o r m e d u flo t :
x{t) = (p(t, xo) = e^^XQ =
t
0
A /t ^
A k + \ f
0
e^c/t
XQ
______I ¡ut -OJt]
O n ‘ àe^ = e x p
M )t
f i t
cos (jüt - smù)t\
,
,
\ .
\, U ci ùj é ta n t b ie n s u r r e e ls .
\ s m OJt c o s ù Jt
44
A
A
11
^
0
1
Figure 4.1 - La transformation du relieur.
■ >
T J
O
c
rj
û
«JD
tH
O
CM
(y)
X I
OJ
>Q.
O
U
4.2 F l o t e t s t a b il it é d es s y s t è m e s l in é a ir e s
D a n s c e p a r a g r a p h e , o n u tilis e le f a it q u e to u t e n d o m o r p h is m e s ’e x p rim e , d a n s u n e
b a s e c o n v e n a b le , p a r u n e m a tr ic e r é e lle s o u s f o r m e r é d u ite d e J o rd a n .
e s t m u n i d e
la s tr u c tu r e e u c lid ie n n e p o u r la q u e lle c e tte b a s e e s t o r th o n o r m é e . C e c h o ix j u s tif ie le s
r e m a r q u e s g é o m é tr iq u e s f a ite s d a n s c e p a ra g r a p h e . O n y é v o q u e e n e ffe t d e s c e rc le s
e t d e s s p ir a le s lo g a r ith m iq u e s , q u i s o n t d e s n o tio n s e u c lid ie n n e s .
4.2.1 Flot d ’un s y s tè m e lin é a ire se m i-sim p le
/{|
0
D a n s u n e b a s e c o n v e n a b le , A =
Ak
Ak+ 1
0
A
a v e c A ; = 1^^
W l^jJ
R a p p e lo n s q u e E = R ” (a v e c n = 2q - k > q) QSi la s o m m e d ire c te d e q s o u s -
e s p a c e s v e c to r ie ls in v a ria n ts p a r A \ E = E\ ® E i ®
® Eq.
L e s Ei é ta n t in v a r ia n ts p a r A , l ’é tu d e d u flo t se r a m è n e à Vétude du flo t su r ch a cu n
des E i, d o n c s u r d e s s o u s - e s p a c e s v e c to r ie ls d e d im e n s io n 1 (a s s o c ié s à d /) o u 2
( a s s o c ié s à A j), a in s i q u ’e n a tte s te la f o r m e d u flo t :
x{t) = (p(t, xo) = e^^XQ =
t
0
A /t ^
A k + \ f
0
e^c/t
XQ
______I ¡ut -OJt]
O n ‘ àe^ = e x p
M )t
f i t
cos (jüt - smù)t\
,
,
\ .
\, U ci ùj é ta n t b ie n s u r r e e ls .
\ s m OJt c o s ù Jt
44