S t a b i l i t é d e s
SYSTÈM ES LINÉAIRES
4
T J
O c rj
Q
k D
O
rs]
ai
> -
C L
O
U
4 . 1
r é d u c t i o n
d e s e n d o m o r p h i s m e s
N o u s a v o n s d é jà v u q u e le s tr a je c to ir e s d u s y s tè m e lin é a ir e
X = A x s o n t explicites : x(t) = c^^xq.
L e s p r o p r ié té s d e x(t), n o ta m m e n t s o n c o m p o r te m e n t q u a n d / —> oo, q u i c a r a c té r is e
la s ta b ilité d u s y s tè m e , d é p e n d e n t é tr o ite m e n t d e
O r, si le s p r o p rié té s d e l ’e x p o
n e n tie lle d ’u n e m a tr ic e q u e lc o n q u e r e s te n t d iffic ile s à a p p ré h e n d e r, e lle s s ’id e n tif ie n t
e n r e v a n c h e trè s c la ir e m e n t si o n se p la c e d a n s u n e b a s e c o n v e n a b le de E -
d a n s la q u e lle la m a tr ic e e s t m is e s o u s f o r m e a lo rs d ite ré d u ite . A in s i, la f o r m e d e A
( n o u s u tilis o n s le m ê m e s y m b o le p o u r l ’e n d o m o r p h is m e e t s a m a tr ic e ) d e v ie n t blocdiagonale. O n l ’a p p e lle f o r m e r é d u ite d e J o rd a n .
• L e s b lo c s s o n t d e d im e n s io n 1 o u 2 si A e s t semi-simple, c ’e s t- à - d ir e s ’il e s t d ia -
g o n a lis a b le s u r C .
• D a n s le c a s c o n tr a ir e , la d im e n s io n d u p lu s g r a n d b lo c e s t a u m o in s é g a le à 2 .
P o u r fix e r le s id é e s e t p o u r m o n tr e r q u e c e rta in s e n d o m o r p h is m e s trè s sim ples n e
s o n t p o u r ta n t pas sem i-sim ples, d o n n o n s u n s c h é m a s o m m a ir e d e s d iff é re n ts ty p e s
d ’e n d o m o r p h is m e s , a v e c u n e x e m p le A p o u r c h a c u n d ’e n tr e e u x :
A =
A =
a b
-b a
V • P 1
V ■ P a ± i b
û
©
, - 1 0 ,
A=|q 3|v p-1et3
D a n s c e s c h é m a , | q ^ j r e p r é s e n te la « tr a n s f o r m a tio n d u r e lie u r » : o n p e n s e r a à
u n liv re d o n t la tra n c h e , in itia le m e n t r e c ta n g u la ir e , d e v ie n t u n p a r a llé lo g r a m m e a p rè s
tr a n s la tio n d e s a c o u v e r tu r e , le s p a g e s a y a n t g lis s é le s u n e s s u r le s a u tre s .
Il p o s s è d e la s e u le v a le u r p r o p re À = 1. L e s o u s - e s p a c e p r o p re c o r r e s p o n d a n t e s t
s e u le m e n t d e d im e n s io n 1. L a m a tr ic e n ’e s t d o n c p a s d ia g o n a lis a b le d a n s R , m a is n e
l ’e s t p a s n o n p lu s d a n s C .
L a r é d u ite d e J o r d a n , é v o q u é e c i- d e s s u s , f a it l ’o b je t d e l ’a n n e x e 4 . C e tte f o rm e
e s t a d a p té e à la p r é d ic tio n d u c o m p o r te m e n t d u flo t. E lle p e r m e t e n p a r tic u lie r d e
c o n n a îtr e la n a tu r e d e l ’é q u ilib r e 0.
43
SYSTÈM ES LINÉAIRES
4
T J
O c rj
Q
k D
O
rs]
ai
> -
C L
O
U
4 . 1
r é d u c t i o n
d e s e n d o m o r p h i s m e s
N o u s a v o n s d é jà v u q u e le s tr a je c to ir e s d u s y s tè m e lin é a ir e
X = A x s o n t explicites : x(t) = c^^xq.
L e s p r o p r ié té s d e x(t), n o ta m m e n t s o n c o m p o r te m e n t q u a n d / —> oo, q u i c a r a c té r is e
la s ta b ilité d u s y s tè m e , d é p e n d e n t é tr o ite m e n t d e
O r, si le s p r o p rié té s d e l ’e x p o
n e n tie lle d ’u n e m a tr ic e q u e lc o n q u e r e s te n t d iffic ile s à a p p ré h e n d e r, e lle s s ’id e n tif ie n t
e n r e v a n c h e trè s c la ir e m e n t si o n se p la c e d a n s u n e b a s e c o n v e n a b le de E -
d a n s la q u e lle la m a tr ic e e s t m is e s o u s f o r m e a lo rs d ite ré d u ite . A in s i, la f o r m e d e A
( n o u s u tilis o n s le m ê m e s y m b o le p o u r l ’e n d o m o r p h is m e e t s a m a tr ic e ) d e v ie n t blocdiagonale. O n l ’a p p e lle f o r m e r é d u ite d e J o rd a n .
• L e s b lo c s s o n t d e d im e n s io n 1 o u 2 si A e s t semi-simple, c ’e s t- à - d ir e s ’il e s t d ia -
g o n a lis a b le s u r C .
• D a n s le c a s c o n tr a ir e , la d im e n s io n d u p lu s g r a n d b lo c e s t a u m o in s é g a le à 2 .
P o u r fix e r le s id é e s e t p o u r m o n tr e r q u e c e rta in s e n d o m o r p h is m e s trè s sim ples n e
s o n t p o u r ta n t pas sem i-sim ples, d o n n o n s u n s c h é m a s o m m a ir e d e s d iff é re n ts ty p e s
d ’e n d o m o r p h is m e s , a v e c u n e x e m p le A p o u r c h a c u n d ’e n tr e e u x :
A =
A =
a b
-b a
V • P 1
V ■ P a ± i b
û
©
, - 1 0 ,
A=|q 3|v p-1et3
D a n s c e s c h é m a , | q ^ j r e p r é s e n te la « tr a n s f o r m a tio n d u r e lie u r » : o n p e n s e r a à
u n liv re d o n t la tra n c h e , in itia le m e n t r e c ta n g u la ir e , d e v ie n t u n p a r a llé lo g r a m m e a p rè s
tr a n s la tio n d e s a c o u v e r tu r e , le s p a g e s a y a n t g lis s é le s u n e s s u r le s a u tre s .
Il p o s s è d e la s e u le v a le u r p r o p re À = 1. L e s o u s - e s p a c e p r o p re c o r r e s p o n d a n t e s t
s e u le m e n t d e d im e n s io n 1. L a m a tr ic e n ’e s t d o n c p a s d ia g o n a lis a b le d a n s R , m a is n e
l ’e s t p a s n o n p lu s d a n s C .
L a r é d u ite d e J o r d a n , é v o q u é e c i- d e s s u s , f a it l ’o b je t d e l ’a n n e x e 4 . C e tte f o rm e
e s t a d a p té e à la p r é d ic tio n d u c o m p o r te m e n t d u flo t. E lle p e r m e t e n p a r tic u lie r d e
c o n n a îtr e la n a tu r e d e l ’é q u ilib r e 0.
43