3.2. Stabilité des équilibres : exemple et définitions
E x e r c ic e 3 .2 Un éq uilibre ce n trifu g e m a is stab le
1
O n c o n s id è r e le s y s tè m e u n id im e n s io n n e l x = f { x ) =
sin ^ - p o u r x ^ 0 , e t
/(0) = 0.
1. M o n tr e r q u e l ’é q u ilib r e 0 e s t s ta b le e t c e n tr if u g e , c ’e s t- à - d ir e : p o u r p r e s q u e
to u t JC G R * , f ( x ) e s t s tr ic te m e n t d u s ig n e d e x (e n d ’a u tr e s te rm e s , p r e s q u e to u t
X s ’é lo ig n e d e 0 ).
2 . Q u e lle g é n é r a lis a tio n p e u t- o n e n v is a g e r ?
■a
O c n
Q
Ю
O
(N
> -
C L
O
U
fû
©
3.2.5 C o n s e rv a tio n d e s é q u ilib re s p a r c o n ju g a iso n
S o ie n t 5*1 e t ^ 2 d e u x s y s tè m e s d e d im e n s io n n c o n ju g u é s p a r l ’h o m é o m o r p h is m e
Ф, e t a u n é q u ilib r e d u s y s tè m e 5*]. S i l ’o n a p p e lle ф\ e t Ф2 le s flo ts r e s p e c tif s d e s
s y s tè m e s S \ e t ^ 2 , o n a p a r d é fin itio n d e la c o n ju g a is o n :
Vr G R , ф2и, ф(а)] = 1//[ф1(Г, a)]. M a is , a é ta n t u n é q u ilib r e , o n a :
V / G R , 01 (r, a) = fl. P a r c o n s é q u e n t, Vr G R , 0 2 [ /, 0 (fl)] = ф(а). D o n c , 0 (a ) e s t u n
é q u ilib r e d e S 2- C e c i m o n tr e q u e Г h o m é o m o r p h is m e ф d e c o n ju g a is o n tr a n s f o r m e
to u t é q u ilib r e d e 5 1 e n é q u ilib r e d e 82- E n la n g a g e a b ré g é « la c o n ju g a is o n c o n s e r v e
le s é q u ilib r e s ».
Il r é s u lte d e la s y m é tr ie d e la r e la tio n d e c o n ju g a is o n q u ’u n p o in t r é g u lie r ( c ’e s tà -d ir e q u i n ’e s t p a s u n é q u ilib r e ) n e p e u t ê tr e c o n ju g u é q u ’à u n p o in t ré g u lie r. E n
r é s u m é e t to u jo u r s e n la n g a g e a b r é g é :
la con jugaison conserve les équilibres et les p oin ts réguliers.
L ’e x e r c ic e q u i s u it p e r m e t d ’a ffin e r c e r é s u lta t,
r
E x e r c ic e 3 .3 C o n se rv a tio n de la n a tu re d 'u n point p a r co n ju g a iso n
S o ie n t d e u x s y s tè m e s S\ e t 5 2, d é fin is r e s p e c tiv e m e n t s u r
e t П 2 , e t c o n ju g u é s
p a r Г h o m é o m o r p h is m e ф. M o n tr e r q u e p o u r to u t a G Î 2i, le p o in t a e t s o n im a g e
0 ( a ) g Q.2 s o n t d e m ê m e n a tu r e :
- s o it to u s d e u x r é g u lie r s ;
- s o it to u s d e u x é q u ilib r e s s im p le m e n t s ta b le s ;
- s o it to u s d e u x é q u ilib r e s a ttr a c tif s ;
- s o it to u s d e u x é q u ilib r e s r é p u ls if s ;
- s o it to u s d e u x é q u ilib r e s a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le s ;
- s o it to u s d e u x é q u ilib r e s in s ta b le s .
39
E x e r c ic e 3 .2 Un éq uilibre ce n trifu g e m a is stab le
1
O n c o n s id è r e le s y s tè m e u n id im e n s io n n e l x = f { x ) =
sin ^ - p o u r x ^ 0 , e t
/(0) = 0.
1. M o n tr e r q u e l ’é q u ilib r e 0 e s t s ta b le e t c e n tr if u g e , c ’e s t- à - d ir e : p o u r p r e s q u e
to u t JC G R * , f ( x ) e s t s tr ic te m e n t d u s ig n e d e x (e n d ’a u tr e s te rm e s , p r e s q u e to u t
X s ’é lo ig n e d e 0 ).
2 . Q u e lle g é n é r a lis a tio n p e u t- o n e n v is a g e r ?
■a
O c n
Q
Ю
O
(N
> -
C L
O
U
fû
©
3.2.5 C o n s e rv a tio n d e s é q u ilib re s p a r c o n ju g a iso n
S o ie n t 5*1 e t ^ 2 d e u x s y s tè m e s d e d im e n s io n n c o n ju g u é s p a r l ’h o m é o m o r p h is m e
Ф, e t a u n é q u ilib r e d u s y s tè m e 5*]. S i l ’o n a p p e lle ф\ e t Ф2 le s flo ts r e s p e c tif s d e s
s y s tè m e s S \ e t ^ 2 , o n a p a r d é fin itio n d e la c o n ju g a is o n :
Vr G R , ф2и, ф(а)] = 1//[ф1(Г, a)]. M a is , a é ta n t u n é q u ilib r e , o n a :
V / G R , 01 (r, a) = fl. P a r c o n s é q u e n t, Vr G R , 0 2 [ /, 0 (fl)] = ф(а). D o n c , 0 (a ) e s t u n
é q u ilib r e d e S 2- C e c i m o n tr e q u e Г h o m é o m o r p h is m e ф d e c o n ju g a is o n tr a n s f o r m e
to u t é q u ilib r e d e 5 1 e n é q u ilib r e d e 82- E n la n g a g e a b ré g é « la c o n ju g a is o n c o n s e r v e
le s é q u ilib r e s ».
Il r é s u lte d e la s y m é tr ie d e la r e la tio n d e c o n ju g a is o n q u ’u n p o in t r é g u lie r ( c ’e s tà -d ir e q u i n ’e s t p a s u n é q u ilib r e ) n e p e u t ê tr e c o n ju g u é q u ’à u n p o in t ré g u lie r. E n
r é s u m é e t to u jo u r s e n la n g a g e a b r é g é :
la con jugaison conserve les équilibres et les p oin ts réguliers.
L ’e x e r c ic e q u i s u it p e r m e t d ’a ffin e r c e r é s u lta t,
r
E x e r c ic e 3 .3 C o n se rv a tio n de la n a tu re d 'u n point p a r co n ju g a iso n
S o ie n t d e u x s y s tè m e s S\ e t 5 2, d é fin is r e s p e c tiv e m e n t s u r
e t П 2 , e t c o n ju g u é s
p a r Г h o m é o m o r p h is m e ф. M o n tr e r q u e p o u r to u t a G Î 2i, le p o in t a e t s o n im a g e
0 ( a ) g Q.2 s o n t d e m ê m e n a tu r e :
- s o it to u s d e u x r é g u lie r s ;
- s o it to u s d e u x é q u ilib r e s s im p le m e n t s ta b le s ;
- s o it to u s d e u x é q u ilib r e s a ttr a c tif s ;
- s o it to u s d e u x é q u ilib r e s r é p u ls if s ;
- s o it to u s d e u x é q u ilib r e s a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le s ;
- s o it to u s d e u x é q u ilib r e s in s ta b le s .
39