Chapitre 3 • Équilibres
M o n tr e r q u e , q u e lle q u e s o it la p a r tie X d e E, l ’a p p lic a tio n x e E
d(x, X) e
R + e s t lip s c h itz ie n n e d e r a p p o r t 1.
2 . M o n tr e r q u e to u t e n s e m b le X f e r m é d e
e s t l ’e n s e m b le d e s é q u ilib r e s d ’u n
s y s tè m e lip s c h itz ie n .
3 . M o n tr e r q u e to u t p o in t d ’a c c u m u la tio n d ’u n e n s e m b le d e s é q u ilib r e s S e s t u n
é q u ilib r e s im p le m e n t s ta b le .
4 . M o n tr e r p a r d e s e x e m p le s q u ’u n p o in t is o lé d e S p e u t ê tr e u n é q u ilib r e s im p le
m e n t s ta b le o u a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le .
■ a
O c D
Q
k D
O
rs]
> -
CL
O
U
Physionom ie des équilibres sim plem ent stables
A u v o is in a g e d ’u n é q u ilib r e s im p le m e n t s ta b le , le s p o r tr a its d e p h a s e s p e u v e n t ê tre
trè s v a rié s . L e b u t d e c e p a r a g r a p h e e s t s im p le m e n t d ’é b a u c h e r u n e « g a le r ie d e s
p o r tr a its » q u i p e r m e t d e m ie u x s a is ir la n a tu r e d e s é q u ilib r e s s ta b le s n o n a ttr a c tif s .
E x e m p le s
1. Pour le système jc = 0 dans R”, tout point est simplement stable. Il y a immobilité de tous les points.
2. Nous avons déjà rencontré dans R^ le système Je =
0 -I
1 0
J C , qui représente
par exemple l’oscillateur harmonique. L’équilibre 0 est entouré d’orbites circulaires.
3. Le système unidimensionnel jc = f(x) = sin-- avec /'(0) = 0 possède une infinité d’équilibres instables. L’équilibre 0 est à la fois simplement stable et
centrifuge, comme on le précise dans l’exercice 3.2.
4. Le système plan jc =
-1 0
0 0
.JC correspond au cas-type n° 3 que nous verrons au
§ 5.2. L’ensemble des équilibres est une droite, tout point du plan rallie cette
droite.
5. Pour le système plan
P = sin - pour P 0 , sinon 0
1
P
, le seul équilibre est l’origine 0. Il est entouré d’une infinité de cycles concentriques, alternativement
stables et instables (les cycles sont les trajectoires périodiques : ils seront évoqués au § 7.2).
6 . Dans R", tout fermé peut être l’ensemble £ des équilibres d’un système : l’exercice 3.1 montre que les points d’accumulation de £ sont nécessairement des
équilibres simplement stables (voir les exemples 3 et 4 ci-avant).
7 . On peut construire toutes sortes d’exemples originaux complétant les précédents. L’imagination au pouvoir!
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M o n tr e r q u e , q u e lle q u e s o it la p a r tie X d e E, l ’a p p lic a tio n x e E
d(x, X) e
R + e s t lip s c h itz ie n n e d e r a p p o r t 1.
2 . M o n tr e r q u e to u t e n s e m b le X f e r m é d e
e s t l ’e n s e m b le d e s é q u ilib r e s d ’u n
s y s tè m e lip s c h itz ie n .
3 . M o n tr e r q u e to u t p o in t d ’a c c u m u la tio n d ’u n e n s e m b le d e s é q u ilib r e s S e s t u n
é q u ilib r e s im p le m e n t s ta b le .
4 . M o n tr e r p a r d e s e x e m p le s q u ’u n p o in t is o lé d e S p e u t ê tr e u n é q u ilib r e s im p le
m e n t s ta b le o u a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le .
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Physionom ie des équilibres sim plem ent stables
A u v o is in a g e d ’u n é q u ilib r e s im p le m e n t s ta b le , le s p o r tr a its d e p h a s e s p e u v e n t ê tre
trè s v a rié s . L e b u t d e c e p a r a g r a p h e e s t s im p le m e n t d ’é b a u c h e r u n e « g a le r ie d e s
p o r tr a its » q u i p e r m e t d e m ie u x s a is ir la n a tu r e d e s é q u ilib r e s s ta b le s n o n a ttr a c tif s .
E x e m p le s
1. Pour le système jc = 0 dans R”, tout point est simplement stable. Il y a immobilité de tous les points.
2. Nous avons déjà rencontré dans R^ le système Je =
0 -I
1 0
J C , qui représente
par exemple l’oscillateur harmonique. L’équilibre 0 est entouré d’orbites circulaires.
3. Le système unidimensionnel jc = f(x) = sin-- avec /'(0) = 0 possède une infinité d’équilibres instables. L’équilibre 0 est à la fois simplement stable et
centrifuge, comme on le précise dans l’exercice 3.2.
4. Le système plan jc =
-1 0
0 0
.JC correspond au cas-type n° 3 que nous verrons au
§ 5.2. L’ensemble des équilibres est une droite, tout point du plan rallie cette
droite.
5. Pour le système plan
P = sin - pour P 0 , sinon 0
1
P
, le seul équilibre est l’origine 0. Il est entouré d’une infinité de cycles concentriques, alternativement
stables et instables (les cycles sont les trajectoires périodiques : ils seront évoqués au § 7.2).
6 . Dans R", tout fermé peut être l’ensemble £ des équilibres d’un système : l’exercice 3.1 montre que les points d’accumulation de £ sont nécessairement des
équilibres simplement stables (voir les exemples 3 et 4 ci-avant).
7 . On peut construire toutes sortes d’exemples originaux complétant les précédents. L’imagination au pouvoir!
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