3.2. Stabilité des équilibres : exemple et définitions
• A ttra c tiv ité et ré p u lsiv ité
P a r d é fin itio n , s ta b ilité e t in s ta b ilité s ’e x c lu e n t. E n r e v a n c h e , m a lg r é l ’a n tin o m ie d e s
d e u x a d je c tif s « a ttr a c tif » e t « r é p u l s if », le s d e u x n o tio n s n e s o n t p a s e x c lu s iv e s :
u n m ê m e é q u ilib r e p e u t ê tr e attractif et r ép u lsif, c e q u i e s t le c a s d a n s l ’e x e m p le 4
c i- a p rè s . E n f a it le s q u a tr e c a s im a g in a b le s s o n t p o s s ib le s .
E x e m p le s
1. Soit n = R, et X = X “ ; l’équilibre 0 n’est ni a ttra ctif ni rép u lsif ;
2. Soit il = R, et x = -x; l’équilibre 0 est a ttra ctif mais n’est pas rép u lsif ;
3. Soit il = R, et X = x; l’équilibre 0 est rép u lsif mais n’est pas a ttra ctif ;
4. Dans le chapitre «flots hors de R'’ », on évoquera le mouvement du pendule à
vitesse haute nulle. Le flot correspondant possède un équilibre unique (équilibre haut), qui est a ttra ctif et répulsif. Dans cet exemple, le flot est de dimension 1 mais on évolue sur un cercle, donc hors de R.
O n n o te r a q u e , c o n tr a ir e m e n t a u x n o tio n s d e s ta b ilité e t d ’in s ta b ilité q u i s o n t lo
c a le s , c e lle s d ’a ttr a c tiv ité e t d e r é p u ls iv ité sont globales ; e lle s d é p e n d e n t d e la c o n f ig u r a tio n g é n é r a le d u flo t. L ’e x e m p le d e la fig u re 3.2 le m o n tr e : si e n e ffe t o n r e s tr e in t
le flo t a u d is q u e o u v e r t Q d e c e n tr e A e t d e r a y o n 1, c e r ta in e s tr a je c to ir e s q u itte n t O
e t n ’o n t p lu s la p o s s ib ilité d e r a llie r A . L e c a ra c tè r e a tt r a c t if d e A n e s u rv it d o n c p a s
à u n e r e s tr ic tio n d u flo t a u v o is in a g e O d e A c h o is i.
-a
O c n
û
« J D
tH
O
CM
(5)
ai
> -
C L
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Q
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3.2.4 E n se m b le 6 d e s é q u ilib re s
S o it le s y s tè m e x = f ( x ) a v e c jî G O c R " e t / c o n tin u e . L ’e n s e m b le d e s é q u ilib r e s
e s t & = / “ *(0 )- P o u r le s y s tè m e lin é a ir e f { x ) = A x, 8 e s t le n o y a u d e A , d o n c u n
s o u s - e s p a c e v e c to r ie l d e W \ D a n s c e c a s , 0 e s t le s e u l é q u ilib r e si e t s e u le m e n t si A
e s t in je c tif.
R e v e n o n s a u c a s g é n é ra l. C o m m e / e s t c o n tin u e , (0 ) é ta n t f e r m é , 8 est fer m é.
L a q u e s tio n r é c ip r o q u e « u n e n s e m b le f e r m é q u e lc o n q u e e s t- il l ’e n s e m b le d e s
é q u ilib r e s d ’u n c e rta in s y s tè m e ? » tro u v e s a r é p o n s e , a ffirm a tiv e , d a n s l ’e x e rc ic e 3 . 1.
O n y m o n tr e q u e l ’u n a u m o in s d e s s y s tè m e s r é p o n d a n t à la q u e s tio n e s t 1lis p c h itz ie n . O n y é ta b lit e n o u tr e d ’a u tr e s p r o p r ié té s d e 8 .
E x e r c ic e 3.1 Tout fe rm é p e u t être un en sem b le d es éq u ilib res
1. S u r u n e n s e m b le E m u n i d ’u n e d is ta n c e d, o n d é fin it a in s i la d is ta n c e d ’u n p o in t
X e E 'k u n e p a r tie q u e lc o n q u e X d e E :
X e E
d{x, X ) = i n f d(x, z) (v o ir a n n e x e 2 )
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• A ttra c tiv ité et ré p u lsiv ité
P a r d é fin itio n , s ta b ilité e t in s ta b ilité s ’e x c lu e n t. E n r e v a n c h e , m a lg r é l ’a n tin o m ie d e s
d e u x a d je c tif s « a ttr a c tif » e t « r é p u l s if », le s d e u x n o tio n s n e s o n t p a s e x c lu s iv e s :
u n m ê m e é q u ilib r e p e u t ê tr e attractif et r ép u lsif, c e q u i e s t le c a s d a n s l ’e x e m p le 4
c i- a p rè s . E n f a it le s q u a tr e c a s im a g in a b le s s o n t p o s s ib le s .
E x e m p le s
1. Soit n = R, et X = X “ ; l’équilibre 0 n’est ni a ttra ctif ni rép u lsif ;
2. Soit il = R, et x = -x; l’équilibre 0 est a ttra ctif mais n’est pas rép u lsif ;
3. Soit il = R, et X = x; l’équilibre 0 est rép u lsif mais n’est pas a ttra ctif ;
4. Dans le chapitre «flots hors de R'’ », on évoquera le mouvement du pendule à
vitesse haute nulle. Le flot correspondant possède un équilibre unique (équilibre haut), qui est a ttra ctif et répulsif. Dans cet exemple, le flot est de dimension 1 mais on évolue sur un cercle, donc hors de R.
O n n o te r a q u e , c o n tr a ir e m e n t a u x n o tio n s d e s ta b ilité e t d ’in s ta b ilité q u i s o n t lo
c a le s , c e lle s d ’a ttr a c tiv ité e t d e r é p u ls iv ité sont globales ; e lle s d é p e n d e n t d e la c o n f ig u r a tio n g é n é r a le d u flo t. L ’e x e m p le d e la fig u re 3.2 le m o n tr e : si e n e ffe t o n r e s tr e in t
le flo t a u d is q u e o u v e r t Q d e c e n tr e A e t d e r a y o n 1, c e r ta in e s tr a je c to ir e s q u itte n t O
e t n ’o n t p lu s la p o s s ib ilité d e r a llie r A . L e c a ra c tè r e a tt r a c t if d e A n e s u rv it d o n c p a s
à u n e r e s tr ic tio n d u flo t a u v o is in a g e O d e A c h o is i.
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3.2.4 E n se m b le 6 d e s é q u ilib re s
S o it le s y s tè m e x = f ( x ) a v e c jî G O c R " e t / c o n tin u e . L ’e n s e m b le d e s é q u ilib r e s
e s t & = / “ *(0 )- P o u r le s y s tè m e lin é a ir e f { x ) = A x, 8 e s t le n o y a u d e A , d o n c u n
s o u s - e s p a c e v e c to r ie l d e W \ D a n s c e c a s , 0 e s t le s e u l é q u ilib r e si e t s e u le m e n t si A
e s t in je c tif.
R e v e n o n s a u c a s g é n é ra l. C o m m e / e s t c o n tin u e , (0 ) é ta n t f e r m é , 8 est fer m é.
L a q u e s tio n r é c ip r o q u e « u n e n s e m b le f e r m é q u e lc o n q u e e s t- il l ’e n s e m b le d e s
é q u ilib r e s d ’u n c e rta in s y s tè m e ? » tro u v e s a r é p o n s e , a ffirm a tiv e , d a n s l ’e x e rc ic e 3 . 1.
O n y m o n tr e q u e l ’u n a u m o in s d e s s y s tè m e s r é p o n d a n t à la q u e s tio n e s t 1lis p c h itz ie n . O n y é ta b lit e n o u tr e d ’a u tr e s p r o p r ié té s d e 8 .
E x e r c ic e 3.1 Tout fe rm é p e u t être un en sem b le d es éq u ilib res
1. S u r u n e n s e m b le E m u n i d ’u n e d is ta n c e d, o n d é fin it a in s i la d is ta n c e d ’u n p o in t
X e E 'k u n e p a r tie q u e lc o n q u e X d e E :
X e E
d{x, X ) = i n f d(x, z) (v o ir a n n e x e 2 )
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