Chapitre 3 • Équilibres
e s t-il a in s i p o u r u n s y s tè m e q u e lc o n q u e ? N o u s s a v o n s d é jà q u e s u r i l = R , la
r é p o n s e e s t positive. E n e ffe t, to u te o r b ite é ta n t u n in te r v a lle , l ’a ttr a c tiv ité e s t r e
p r é s e n té e lo c a le m e n t p a r u n p o r tr a it d e p h a s e s d u ty p e s u iv a n t, q u i tr a d u it la s ta b ilité :
a
M a is à p a r tir d e la d im e n s io n 2 , la r é p o n s e d e v ie n t négative. S u r i l = R ^ ,
n o u s p o u v o n s l ’illu s tr e r p a r ... d e s p o in ts d ’in te r r o g a tio n , c e c i e n r é f é re n c e à la f o rm e
d e c e r ta in e s d e s o r b ite s .
L a fig u re 3.2 m o n tr e à c e tte fin u n p o r tr a it d e p h a s e s d ’u n s y s tè m e p la n c o m p o r ta n t
u n é q u ilib r e a ttr a c tif in s ta b le , le p o in t A . P a r m i le s m o d é lis a tio n s p o s s ib le s d ’u n te l
s y s tè m e , o n p e u t p r o p o s e r c e lle - c i :
• le c e r c le u n ité F a in s i q u e to u s c e r c le s q u i lu i s o n t ta n g e n ts in té r ie u r e m e n t e n A
(v o ir fig u re ), u n e f o is p r iv é s d e A , s o n t d e s o r b ite s ;
• à l ’e x té r ie u r d e T , le s tr a je c to ir e s p r o v ie n n e n t d e l ’in fin i d a n s la d ir e c tio n a s y m p
to tiq u e d e O x, c o n to u r n e n t le c e r c le F d a n s le s e n s d ire c t, e n fin te n d e n t v e rs A
ta n g e n tie lle m e n t à A x ;
• la d e m i- d r o ite o u v e rte A x e s t u n e o r b ite ;
• e n to u t p o in t M d u p la n , le m o d u le d e la v ite s s e e s t é g a l à la d is ta n c e ||A M || d u
p o in t à A . C e d e r n ie r e s t d o n c u n é q u ilib r e ;
• le s s e n s d e p a r c o u r s d e s o r b ite s s o n t in d iq u é s s u r la fig u re 3 .2 .
TJ
O
c
rj
Q
k D
O
rs]
ai
>•
Q.
O
U
V
A l ’e x té r ie u r d u d is q u e u n ité , le s o r b ite s o n t l ’a llu r e d e p o in ts d ’in te r ro g a tio n . L e
p o r tr a it d e p h a s e s m o n tr e q u e l ’é q u ilib r e
attractif in sta ble.
36
e s t-il a in s i p o u r u n s y s tè m e q u e lc o n q u e ? N o u s s a v o n s d é jà q u e s u r i l = R , la
r é p o n s e e s t positive. E n e ffe t, to u te o r b ite é ta n t u n in te r v a lle , l ’a ttr a c tiv ité e s t r e
p r é s e n té e lo c a le m e n t p a r u n p o r tr a it d e p h a s e s d u ty p e s u iv a n t, q u i tr a d u it la s ta b ilité :
a
M a is à p a r tir d e la d im e n s io n 2 , la r é p o n s e d e v ie n t négative. S u r i l = R ^ ,
n o u s p o u v o n s l ’illu s tr e r p a r ... d e s p o in ts d ’in te r r o g a tio n , c e c i e n r é f é re n c e à la f o rm e
d e c e r ta in e s d e s o r b ite s .
L a fig u re 3.2 m o n tr e à c e tte fin u n p o r tr a it d e p h a s e s d ’u n s y s tè m e p la n c o m p o r ta n t
u n é q u ilib r e a ttr a c tif in s ta b le , le p o in t A . P a r m i le s m o d é lis a tio n s p o s s ib le s d ’u n te l
s y s tè m e , o n p e u t p r o p o s e r c e lle - c i :
• le c e r c le u n ité F a in s i q u e to u s c e r c le s q u i lu i s o n t ta n g e n ts in té r ie u r e m e n t e n A
(v o ir fig u re ), u n e f o is p r iv é s d e A , s o n t d e s o r b ite s ;
• à l ’e x té r ie u r d e T , le s tr a je c to ir e s p r o v ie n n e n t d e l ’in fin i d a n s la d ir e c tio n a s y m p
to tiq u e d e O x, c o n to u r n e n t le c e r c le F d a n s le s e n s d ire c t, e n fin te n d e n t v e rs A
ta n g e n tie lle m e n t à A x ;
• la d e m i- d r o ite o u v e rte A x e s t u n e o r b ite ;
• e n to u t p o in t M d u p la n , le m o d u le d e la v ite s s e e s t é g a l à la d is ta n c e ||A M || d u
p o in t à A . C e d e r n ie r e s t d o n c u n é q u ilib r e ;
• le s s e n s d e p a r c o u r s d e s o r b ite s s o n t in d iq u é s s u r la fig u re 3 .2 .
TJ
O
c
rj
Q
k D
O
rs]
ai
>•
Q.
O
U
V
A l ’e x té r ie u r d u d is q u e u n ité , le s o r b ite s o n t l ’a llu r e d e p o in ts d ’in te r ro g a tio n . L e
p o r tr a it d e p h a s e s m o n tr e q u e l ’é q u ilib r e
attractif in sta ble.
36