3.2. Stabilité des équilibres : exemple et définitions
3. La stabilité asymptotique entraîne la stabilité par définition.
En revanche, la seule propriété d’attractivité :
• entraîne la stabilité asymptotique si S est linéaire;
• mais ne l ’entraîne pas si S est non-linéaire. Nous en donnerons un premier
exemple au § 3.2.3.
4. Dans certains documents, l’équilibre que nous venons de définir comme attractif
est appelé asymptotiquement stable et n’est donc pas nécessairement stable. On
veillera donc aux définitions adoptées.
5. Le caractère répulsif (resp. attractif) de l’équilibre xo pour le système x = f ( x )
équivaut à son caractère attractif (resp. répulsif) pour le système x =
déjà
évoqué au § 1.3 sous le nom de système miroir.
6. Un équilibre stable et non asymptotiquement stable est aussi dit équilibre indifférent, ou encore simplement stable.
7. On utilise souvent les préfixes ùj et a pour désigner le comportement de l’état
lorsque t tend respectivement vers -i-oo et - o o .
Ainsi, ce que nous appelons équilibre asymptotiquement stable est parfois appelé équilibre asymptotiquement i^-stable. De même, nous désignerons par o;(x)
l’ensemble-limite de x, notion définie au § 7.1).
3.2.2 C la s s ific a tio n é lé m e n ta ire d e s é q u ilib re s
L a classification élémentaire des équilibres selon les qualificatifs qu’ on vient de définir répond au diagramme suivant, dans lequel quelques exemples sont donnés en
italique.
T J
O
c
rj
û
« J D
tH
O
CM
(y)
X I
OJ
> -
Q.
O
U
Équilibres stables
Équilibres asymptotiquement
stables
Équilibre haut
du pendule
Équilibres attractifs
Équilibres instables
L a suite montrera qu’ on peut, moyennant des hypothèses convenables, affiner la
classification en considérant le système linéarisé autour d’ un équilibre, système dont
Vindice (défini au paragraphe 4 .2 .3) est une propriété importante.
û
@
3.2.3 A ttra ctiv ité , sta b ilité et ré p u lsiv ité : q u e ls r a p p o r t s ?
• Attractivité et stabilité : nous verrons au chapitre suivant, ce qui d’ ailleurs est
assez intuitif, qu’ un équilibre attractif a d’ un système lin é a ir e est stable. M ais en
35
3. La stabilité asymptotique entraîne la stabilité par définition.
En revanche, la seule propriété d’attractivité :
• entraîne la stabilité asymptotique si S est linéaire;
• mais ne l ’entraîne pas si S est non-linéaire. Nous en donnerons un premier
exemple au § 3.2.3.
4. Dans certains documents, l’équilibre que nous venons de définir comme attractif
est appelé asymptotiquement stable et n’est donc pas nécessairement stable. On
veillera donc aux définitions adoptées.
5. Le caractère répulsif (resp. attractif) de l’équilibre xo pour le système x = f ( x )
équivaut à son caractère attractif (resp. répulsif) pour le système x =
déjà
évoqué au § 1.3 sous le nom de système miroir.
6. Un équilibre stable et non asymptotiquement stable est aussi dit équilibre indifférent, ou encore simplement stable.
7. On utilise souvent les préfixes ùj et a pour désigner le comportement de l’état
lorsque t tend respectivement vers -i-oo et - o o .
Ainsi, ce que nous appelons équilibre asymptotiquement stable est parfois appelé équilibre asymptotiquement i^-stable. De même, nous désignerons par o;(x)
l’ensemble-limite de x, notion définie au § 7.1).
3.2.2 C la s s ific a tio n é lé m e n ta ire d e s é q u ilib re s
L a classification élémentaire des équilibres selon les qualificatifs qu’ on vient de définir répond au diagramme suivant, dans lequel quelques exemples sont donnés en
italique.
T J
O
c
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« J D
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(y)
X I
OJ
> -
Q.
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Équilibres stables
Équilibres asymptotiquement
stables
Équilibre haut
du pendule
Équilibres attractifs
Équilibres instables
L a suite montrera qu’ on peut, moyennant des hypothèses convenables, affiner la
classification en considérant le système linéarisé autour d’ un équilibre, système dont
Vindice (défini au paragraphe 4 .2 .3) est une propriété importante.
û
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3.2.3 A ttra ctiv ité , sta b ilité et ré p u lsiv ité : q u e ls r a p p o r t s ?
• Attractivité et stabilité : nous verrons au chapitre suivant, ce qui d’ ailleurs est
assez intuitif, qu’ un équilibre attractif a d’ un système lin é a ir e est stable. M ais en
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