Chapitre 3 • Équilibres
S o it u n p e n d u le p e s a n t, m o d é lis é p a r u n p o in t m a té rie l r a tta c h é au p o in t d e s u s
p e n s io n p a r u n e tig e r ig id e s a n s m a s s e : le p o in t m a té rie l p e u t d o n c o c c u p e r to u te
p o s itio n , b a s s e o u h a u te . S o n é ta t e s t r e p r é s e n té p a r u n v e c te u r d e
r e g r o u p a n t s a
p o s itio n a n g u la ir e e t s a v ite s s e a n g u la ire . L e p e n d u le e s t a m o r ti o u n o n .
L a d é fin itio n d ’u n é q u ilib r e p e r m e t d é jà d ’id e n tif ie r p o u r le s y s tè m e « p e n d u le »
d e u x é q u ilib r e s , c e c i e n p r é s e n c e ( y > 0 ) o u n o n ( y = 0 ) d ’u n a m o r tis s e m e n t y :
l ’é q u ilib r e b a s (fig u re s 3.1 g a u c h e e t c e n tr a le ) e t l ’é q u ilib r e h a u t (fig u re 3.1 d r o ite ).
7 = 0
Y> 0
Y& 0
écart arbitraire
respecté Vr > 0 (*)
A-o S T A B L E
écart tendant
vers 0 à long terme (*)
A-o A T T R A C T IF
im possibilité de respecter
Vr > 0 un écart arbitraire
A-o IN S T A B L E
Figure 3.1 - illustration de trois définitions.
T J
O
c
rj
û
'rH
O
rsl
ai
> -
CL
O
U
D a n s le s c o m m e n ta ir e s d e la fig u re 3.1 :
• xo d é s ig n e l ’é q u ilib r e fig u ré ;
• le te r m e é c a r t d é s ig n e l ’é c a r t à l ’é q u ilib r e ( d o n c ||.r - xqH) ;
• le s y m b o le (* ) s ig n ifie « m o y e n n a n t u n c h o ix c o n v e n a b le d e l ’é c a r t in itia l ».
C e s tro is e x e m p le s c o n s titu e n t u n b o n s u p p o r t i n tu itif p o u r le s d é fin itio n s s u iv a n te s .
.To é ta n t u n é q u ilib r e d e S :
-^0 stable
Vé: > 0 B77 > 0 , ||x - Toll <77
Vr G R + , ||0 (r, x) - Toll < s
XQ attractif < =
377 > 0, ||t - Toll < TJ ^ lim 0 ( r , t ) = To
7— >00
To répulsif
^ »
37 ] > 0 , ||t - Toll < r j
lim (pit, t ) = To
t—^ —00
To asymptotiquement stable < = ^
To s ta b le e t a ttr a c tif
To instable
< =
To n o n s ta b le
Remarques
1. Si la plage temporelle de x est limitée, on remplacera les symboles ex? et - o o dans
l’encadré ci-dessus par les temps respectifs tf de mort explosive et r, de naissance
implosive.
2. La stabilité (simple ou asymptotique) met en jeu tous les tem ps futurs, alors que
l’attractivité ne met enjeu que le long terme. Ceci éclaire la remarque suivante.
34
S o it u n p e n d u le p e s a n t, m o d é lis é p a r u n p o in t m a té rie l r a tta c h é au p o in t d e s u s
p e n s io n p a r u n e tig e r ig id e s a n s m a s s e : le p o in t m a té rie l p e u t d o n c o c c u p e r to u te
p o s itio n , b a s s e o u h a u te . S o n é ta t e s t r e p r é s e n té p a r u n v e c te u r d e
r e g r o u p a n t s a
p o s itio n a n g u la ir e e t s a v ite s s e a n g u la ire . L e p e n d u le e s t a m o r ti o u n o n .
L a d é fin itio n d ’u n é q u ilib r e p e r m e t d é jà d ’id e n tif ie r p o u r le s y s tè m e « p e n d u le »
d e u x é q u ilib r e s , c e c i e n p r é s e n c e ( y > 0 ) o u n o n ( y = 0 ) d ’u n a m o r tis s e m e n t y :
l ’é q u ilib r e b a s (fig u re s 3.1 g a u c h e e t c e n tr a le ) e t l ’é q u ilib r e h a u t (fig u re 3.1 d r o ite ).
7 = 0
Y> 0
Y& 0
écart arbitraire
respecté Vr > 0 (*)
A-o S T A B L E
écart tendant
vers 0 à long terme (*)
A-o A T T R A C T IF
im possibilité de respecter
Vr > 0 un écart arbitraire
A-o IN S T A B L E
Figure 3.1 - illustration de trois définitions.
T J
O
c
rj
û
'rH
O
rsl
ai
> -
CL
O
U
D a n s le s c o m m e n ta ir e s d e la fig u re 3.1 :
• xo d é s ig n e l ’é q u ilib r e fig u ré ;
• le te r m e é c a r t d é s ig n e l ’é c a r t à l ’é q u ilib r e ( d o n c ||.r - xqH) ;
• le s y m b o le (* ) s ig n ifie « m o y e n n a n t u n c h o ix c o n v e n a b le d e l ’é c a r t in itia l ».
C e s tro is e x e m p le s c o n s titu e n t u n b o n s u p p o r t i n tu itif p o u r le s d é fin itio n s s u iv a n te s .
.To é ta n t u n é q u ilib r e d e S :
-^0 stable
Vé: > 0 B77 > 0 , ||x - Toll <77
Vr G R + , ||0 (r, x) - Toll < s
XQ attractif < =
377 > 0, ||t - Toll < TJ ^ lim 0 ( r , t ) = To
7— >00
To répulsif
^ »
37 ] > 0 , ||t - Toll < r j
lim (pit, t ) = To
t—^ —00
To asymptotiquement stable < = ^
To s ta b le e t a ttr a c tif
To instable
< =
To n o n s ta b le
Remarques
1. Si la plage temporelle de x est limitée, on remplacera les symboles ex? et - o o dans
l’encadré ci-dessus par les temps respectifs tf de mort explosive et r, de naissance
implosive.
2. La stabilité (simple ou asymptotique) met en jeu tous les tem ps futurs, alors que
l’attractivité ne met enjeu que le long terme. Ceci éclaire la remarque suivante.
34