Equilibres
3
T J
O
c
rj
û
Ю
tH
O
ГМ
@
ai
> -
C L
O
U
û
@
3 . 1
I n t r o d u c t i o n
S o it u n s y s tè m e x = f ( x ) , a v e c / lo c a le m e n t lip s c h itz ie n n e de E =
d a n s lu i- m ê m e .
Définitions
xq e s t u n équilibre si e t s e u le m e n t si f( x o ) = 0.
x\ e s t u n point régulier s ’il n ’e s t p a s u n é q u ilib r e , c ’e s t- à - d ir e si e t s e u le m e n t si
f ( x 0 Ф 0.
U n é q u ilib r e e s t e n c o r e a p p e lé p o in t fix e , o u p o in t d ’é q u ilib r e , o u p o in t s ta tio n
n a ire , p a rf o is p o in t c ritiq u e .
S i Xq e s t u n é q u ilib r e , x{t) = xq p o u r to u t / > 0 e s t u n e s o lu tio n d u s y s tè m e , c e q u i
j u s tif ie le s a d je c tif s « fix e » e t « s ta tio n n a ir e ».
D a n s le c a s d ’u n s y s tè m e linéaire f ( x ) = A x , l ’e n s e m b le d e s é q u ilib r e s
/ “ ' ( 0 ) = K e r A e s t u n s o u s - e s p a c e v e c to r ie l d e R'^ ; il c o n tie n t to u jo u r s le p o in t 0 .
R e m a r q u o n s q u e la s e u le a n a ly s e p h y s iq u e d u p e n d u le p e s a n t m o n tr e ( m ê m e a v a n t
d ’é c r ir e le s é q u a tio n s d u s y s tè m e ) q u ’il c o n s titu e u n s y s tè m e n o n - lin é a ir e c a r il p o s
s è d e p lu s ie u r s é q u ilib r e s is o lé s .
Il r é s u lte d u th é o r è m e d e C a u c h y - L ip s c h itz q u e tout équilibre jco est u n e orbite. E t
n u lle o r b ite a u tr e q u e {л^о} n e c o n tie n t c e p o in t. S i tel n ’é ta it p a s le c a s, o n p o u r r a it
a tte in d r e o u q u itte r xq e n u n te m p s fin i. O n r e tie n d r a q u e , p o u r u n s y s tè m e lo c a le m e n t
lip s c h itz ie n :
on n e p e u t n i atteindre n i quitter un équilibre en un temps fin i.
L e s é q u ilib r e s s o n t d o n c à la f o is d e s c ita d e lle s im p r e n a b le s e t d e s p r is o n s d ’o ù l ’o n
n e s ’é v a d e p a s . M a is c e tte c o n s ta ta tio n r e s te lié e a u c a r a c tè r e lo c a le m e n t lip s c h itz ie n
d e / . S i o n a b a n d o n n e c e tte h y p o th è s e , to u t d e v ie n t p o s s ib le c o m m e l ’o n t m o n tr é
l ’e x e rc ic e 1.6 e t le p r o b lè m e 1.2.
3 . 2
S t a b i l i t é d e s é q u i l i b r e s : e x e m p l e
E T D É F I N I T I O N S
3.2.1 E x e m p le du p e n d u le et d é fin itio n s
L ’e x e m p le s u iv a n t e s t c e lu i d ’u n s y s tè m e n o n - lin é a ir e s im p le , q u i s e ra a n a ly s é d e
m a n iè r e p lu s d é ta illé e d a n s u n c h a p itr e u lté rie u r. L e s d é fin itio n s q u ’o n v a d o n n e r
s o n t g é n é r a le s : e lle s se r a p p o r te n t à to u s le s s y s tè m e s , linéaires ou non.
33
3
T J
O
c
rj
û
Ю
tH
O
ГМ
@
ai
> -
C L
O
U
û
@
3 . 1
I n t r o d u c t i o n
S o it u n s y s tè m e x = f ( x ) , a v e c / lo c a le m e n t lip s c h itz ie n n e de E =
d a n s lu i- m ê m e .
Définitions
xq e s t u n équilibre si e t s e u le m e n t si f( x o ) = 0.
x\ e s t u n point régulier s ’il n ’e s t p a s u n é q u ilib r e , c ’e s t- à - d ir e si e t s e u le m e n t si
f ( x 0 Ф 0.
U n é q u ilib r e e s t e n c o r e a p p e lé p o in t fix e , o u p o in t d ’é q u ilib r e , o u p o in t s ta tio n
n a ire , p a rf o is p o in t c ritiq u e .
S i Xq e s t u n é q u ilib r e , x{t) = xq p o u r to u t / > 0 e s t u n e s o lu tio n d u s y s tè m e , c e q u i
j u s tif ie le s a d je c tif s « fix e » e t « s ta tio n n a ir e ».
D a n s le c a s d ’u n s y s tè m e linéaire f ( x ) = A x , l ’e n s e m b le d e s é q u ilib r e s
/ “ ' ( 0 ) = K e r A e s t u n s o u s - e s p a c e v e c to r ie l d e R'^ ; il c o n tie n t to u jo u r s le p o in t 0 .
R e m a r q u o n s q u e la s e u le a n a ly s e p h y s iq u e d u p e n d u le p e s a n t m o n tr e ( m ê m e a v a n t
d ’é c r ir e le s é q u a tio n s d u s y s tè m e ) q u ’il c o n s titu e u n s y s tè m e n o n - lin é a ir e c a r il p o s
s è d e p lu s ie u r s é q u ilib r e s is o lé s .
Il r é s u lte d u th é o r è m e d e C a u c h y - L ip s c h itz q u e tout équilibre jco est u n e orbite. E t
n u lle o r b ite a u tr e q u e {л^о} n e c o n tie n t c e p o in t. S i tel n ’é ta it p a s le c a s, o n p o u r r a it
a tte in d r e o u q u itte r xq e n u n te m p s fin i. O n r e tie n d r a q u e , p o u r u n s y s tè m e lo c a le m e n t
lip s c h itz ie n :
on n e p e u t n i atteindre n i quitter un équilibre en un temps fin i.
L e s é q u ilib r e s s o n t d o n c à la f o is d e s c ita d e lle s im p r e n a b le s e t d e s p r is o n s d ’o ù l ’o n
n e s ’é v a d e p a s . M a is c e tte c o n s ta ta tio n r e s te lié e a u c a r a c tè r e lo c a le m e n t lip s c h itz ie n
d e / . S i o n a b a n d o n n e c e tte h y p o th è s e , to u t d e v ie n t p o s s ib le c o m m e l ’o n t m o n tr é
l ’e x e rc ic e 1.6 e t le p r o b lè m e 1.2.
3 . 2
S t a b i l i t é d e s é q u i l i b r e s : e x e m p l e
E T D É F I N I T I O N S
3.2.1 E x e m p le du p e n d u le et d é fin itio n s
L ’e x e m p le s u iv a n t e s t c e lu i d ’u n s y s tè m e n o n - lin é a ir e s im p le , q u i s e ra a n a ly s é d e
m a n iè r e p lu s d é ta illé e d a n s u n c h a p itr e u lté rie u r. L e s d é fin itio n s q u ’o n v a d o n n e r
s o n t g é n é r a le s : e lle s se r a p p o r te n t à to u s le s s y s tè m e s , linéaires ou non.
33