T J
O
c
D
Q
kO
O
CM
(S)
gj
‘s_
> -
CL
o
U
Chapitre 2 • Flot et conjugaison en temps continu
Théorème de la divergence
Soit X = f{x) un système de classe C \ et V(t) le volume dans R'' du transformé
d'un compact K par le flot du système.
Alors, ÿ(Or=o =
Divfdx
J K
L ’é ta b lis s e m e n t d e c e th é o r è m e c la s s iq u e r e q u ie r t s e u le m e n t l ’u tilis a tio n d ’u n d é
v e lo p p e m e n t lim ité e t d ’u n c h a n g e m e n t d e v a ria b le s p o u r l ’in té g r a tio n d a n s R ” .
Remarques
1. Le théorème traduit une intégration sur un volume fini de l’égalité « divergence =
dilatation volumique ».
2. X e Ko devient à l’instant t le point (pit, x). Donc, V(t) est le volume du compact
A', = J 0 (r, x). On peut noter de façon imagée K, = (p(t, Ko).
X€Ko
3. Si la divergence est constante de valeur D, alors :
V = jj^Ddx = D j^dx = D .V , on a
= D, ce que l’on rapprochera de la redt
marque 1 , qui en constitue la version ponctuelle :
d{\nv)
dt
= Div/ , équation dans
laquelle u est le volume massique, inverse de la masse volumique.
4. Les termes « dilatation » et « contraction » utilisés ci-dessus se rapportent à une
mesure dans R", mais non à des longueurs : car une dilatation (ou contraction)
nulle au sens volumique, c’est-à-dire une divergence nulle, peut s’accompagner
d’une dilatation linéaire dans une direction et une contraction dans une autre.
U n s y s tè m e q u i c o n s e r v e le s v o lu m e s (d o n c p o u r le q u e l D iv / = 0 ) e s t d it conservatif. N o u s a v o n s d o n n é u n s e n s d iff é re n t à c e q u a lif ic a tif a u § 1.2 .3 . N o u s v e rr o n s
p lu s lo in e n q u o i le s d e u x s e n s se r e jo ig n e n t.
S i y < 0 , le s y s tè m e e s t d it dissipatif. N o u s é v o q u e r o n s d a n s u n a u tre c h a p itr e
le fa it q u ’u n s y s tè m e p h y s iq u e d a n s le q u e l e x is te n t d e s f r o tte m e n ts v o it s o n é n e rg ie
m é c a n iq u e d im in u e r e t c o r r e s p o n d a lo r s à D iv / < 0 .
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kO
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Chapitre 2 • Flot et conjugaison en temps continu
Théorème de la divergence
Soit X = f{x) un système de classe C \ et V(t) le volume dans R'' du transformé
d'un compact K par le flot du système.
Alors, ÿ(Or=o =
Divfdx
J K
L ’é ta b lis s e m e n t d e c e th é o r è m e c la s s iq u e r e q u ie r t s e u le m e n t l ’u tilis a tio n d ’u n d é
v e lo p p e m e n t lim ité e t d ’u n c h a n g e m e n t d e v a ria b le s p o u r l ’in té g r a tio n d a n s R ” .
Remarques
1. Le théorème traduit une intégration sur un volume fini de l’égalité « divergence =
dilatation volumique ».
2. X e Ko devient à l’instant t le point (pit, x). Donc, V(t) est le volume du compact
A', = J 0 (r, x). On peut noter de façon imagée K, = (p(t, Ko).
X€Ko
3. Si la divergence est constante de valeur D, alors :
V = jj^Ddx = D j^dx = D .V , on a
= D, ce que l’on rapprochera de la redt
marque 1 , qui en constitue la version ponctuelle :
d{\nv)
dt
= Div/ , équation dans
laquelle u est le volume massique, inverse de la masse volumique.
4. Les termes « dilatation » et « contraction » utilisés ci-dessus se rapportent à une
mesure dans R", mais non à des longueurs : car une dilatation (ou contraction)
nulle au sens volumique, c’est-à-dire une divergence nulle, peut s’accompagner
d’une dilatation linéaire dans une direction et une contraction dans une autre.
U n s y s tè m e q u i c o n s e r v e le s v o lu m e s (d o n c p o u r le q u e l D iv / = 0 ) e s t d it conservatif. N o u s a v o n s d o n n é u n s e n s d iff é re n t à c e q u a lif ic a tif a u § 1.2 .3 . N o u s v e rr o n s
p lu s lo in e n q u o i le s d e u x s e n s se r e jo ig n e n t.
S i y < 0 , le s y s tè m e e s t d it dissipatif. N o u s é v o q u e r o n s d a n s u n a u tre c h a p itr e
le fa it q u ’u n s y s tè m e p h y s iq u e d a n s le q u e l e x is te n t d e s f r o tte m e n ts v o it s o n é n e rg ie
m é c a n iq u e d im in u e r e t c o r r e s p o n d a lo r s à D iv / < 0 .
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