2.3. Quelques propriétés générales du flot
E x e m p le s
1. Un cercle est une variété de dimension 1 : deux morceaux {on dira « cartes »)
suffisent à le recouvrir.
2 . Une sphère est une variété de dimension 2 ; deux cartes suffisent aussi.
3. Un tore est une variété de dimension 2; la génération d’un tore par un rectangle deux fois retourné sur lui-même donne l’idée d’un recouvrement par
4 cartes (les 4 rectangles séparés par les médianes du rectangle initial, élargis pour se recouvrir). On en trouvera le détail en annexe 2, paragraphe
« variétés ».
X J
O c: rj
Q
« J D
tH
O
CM
(y)
4-1
x:
ai
> -
Q .
O
U
û
©
• U n e n s e m b le A , p a rtie d e
e s t invariant par le flot si p o u r to u t x e A et to u t
t e J(x), o n a 0 (r, x) G A . E n d ’a u tr e s te r m e s : to u s a s c e n d a n ts e t d e s c e n d a n ts d e x
a p p a r tie n n e n t à A . O n p o u r r a d ire a u s s i, p lu s s im p le m e n t, q u e A e s t invariant. S i o n
se lim ite à r > 0 , o n d it q u e A e s t positivement invariant ( s o u s - e n te n d u : p a r le flo t) :
to u s d e s c e n d a n ts d e jc s o n t d a n s A .
S i l ’e n s e m b le A e s t u n e v a rié té , o n p e u t r e s tr e in d r e l ’é tu d e d u s y s tè m e d y n a m iq u e
d e flo t 0 à y4 . E t, si la d im e n s io n d e A e s t in f é r ie u r e à n , o n d is p o s e d ’un s o u s - s y s tè m e
p lu s s im p le q u e le s y s tè m e in itia l.
D e u x r e m a r q u e s a u s u je t d e s v a rié té s in v a r ia n te s :
- u n e o r b ite e s t e n g é n é ra l u n e v a rié té d e d im e n s io n 1 in v a r ia n te p a r le flo t ; l ’e x c e p
tio n d e s « to re s irr a tio n n e ls » s e ra é v o q u é e d a n s la q u e s tio n 4 d u p r o b lè m e 8.1 e t
a u § 11.3.1 ;
- si le s y s tè m e e s t ré g i p a r u n c h a m p h a m ilto n ie n , le s v a rié té s is o - h a m ilto n ie n s o n t
in v a r ia n te s p a r le flo t. O n s e r e p o r te r a à la n o tio n d e s y s tè m e c o n s e r v a tif : c la s s iq u e
e n m é c a n iq u e , c e tte n o tio n s e ra à n o u v e a u é v o q u é e a u § 6 .2 .2 .
L e flo t h é lic o ïd a l é tu d ié e n s e c tio n p r é c é d e n te f o u r n it q u e lq u e s e x e m p le s s im p le s d e
v a rié té s in v a r ia n te s d e d im e n s io n 1 ( h é lic e s c ir c u la ir e s ) o u 2 ( c y lin d re s d e r é v o lu tio n ,
n a p p e s h é lic o ïd a le s é v o q u a n t d e s « v is d ’A r c h im è d e », e tc .).
2.3.3 Flot d e s s y s t è m e s c o n s e r v a t if s et d is s ip a t if s
Il e s t in s t r u c t if d ’a n a ly s e r l ’é v o lu tio n d ’u n v o lu m e d e l ’e s p a c e d ’é ta t. S o it d o n c K
u n c o m p a c t d e
d e m e s u r e V d a n s M!\ O n é ta b lit le t h é o r è m e s u iv a n t, d o n t o n p e u t
d o n n e r c e tte a p p r o c h e in tu itiv e q u e n o u s e n s e ig n e l ’a é r o d y n a m iq u e : la d iv e r g e n c e
d u c h a m p d e v ite s s e s d ’u n é c o u le m e n t flu id e e s t la d é riv é e lo g a r ith m iq u e p a r r a p p o r t
a u te m p s d u v o lu m e m a s s iq u e . U n e d iv e r g e n c e p o s itiv e tr a d u it u n e d ila ta tio n , u n e
d iv e r g e n c e n é g a tiv e u n e c o n tr a c tio n (v o ir la r e m a r q u e 4 c i- a p rè s ) .
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E x e m p le s
1. Un cercle est une variété de dimension 1 : deux morceaux {on dira « cartes »)
suffisent à le recouvrir.
2 . Une sphère est une variété de dimension 2 ; deux cartes suffisent aussi.
3. Un tore est une variété de dimension 2; la génération d’un tore par un rectangle deux fois retourné sur lui-même donne l’idée d’un recouvrement par
4 cartes (les 4 rectangles séparés par les médianes du rectangle initial, élargis pour se recouvrir). On en trouvera le détail en annexe 2, paragraphe
« variétés ».
X J
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Q
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• U n e n s e m b le A , p a rtie d e
e s t invariant par le flot si p o u r to u t x e A et to u t
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a p p a r tie n n e n t à A . O n p o u r r a d ire a u s s i, p lu s s im p le m e n t, q u e A e s t invariant. S i o n
se lim ite à r > 0 , o n d it q u e A e s t positivement invariant ( s o u s - e n te n d u : p a r le flo t) :
to u s d e s c e n d a n ts d e jc s o n t d a n s A .
S i l ’e n s e m b le A e s t u n e v a rié té , o n p e u t r e s tr e in d r e l ’é tu d e d u s y s tè m e d y n a m iq u e
d e flo t 0 à y4 . E t, si la d im e n s io n d e A e s t in f é r ie u r e à n , o n d is p o s e d ’un s o u s - s y s tè m e
p lu s s im p le q u e le s y s tè m e in itia l.
D e u x r e m a r q u e s a u s u je t d e s v a rié té s in v a r ia n te s :
- u n e o r b ite e s t e n g é n é ra l u n e v a rié té d e d im e n s io n 1 in v a r ia n te p a r le flo t ; l ’e x c e p
tio n d e s « to re s irr a tio n n e ls » s e ra é v o q u é e d a n s la q u e s tio n 4 d u p r o b lè m e 8.1 e t
a u § 11.3.1 ;
- si le s y s tè m e e s t ré g i p a r u n c h a m p h a m ilto n ie n , le s v a rié té s is o - h a m ilto n ie n s o n t
in v a r ia n te s p a r le flo t. O n s e r e p o r te r a à la n o tio n d e s y s tè m e c o n s e r v a tif : c la s s iq u e
e n m é c a n iq u e , c e tte n o tio n s e ra à n o u v e a u é v o q u é e a u § 6 .2 .2 .
L e flo t h é lic o ïd a l é tu d ié e n s e c tio n p r é c é d e n te f o u r n it q u e lq u e s e x e m p le s s im p le s d e
v a rié té s in v a r ia n te s d e d im e n s io n 1 ( h é lic e s c ir c u la ir e s ) o u 2 ( c y lin d re s d e r é v o lu tio n ,
n a p p e s h é lic o ïd a le s é v o q u a n t d e s « v is d ’A r c h im è d e », e tc .).
2.3.3 Flot d e s s y s t è m e s c o n s e r v a t if s et d is s ip a t if s
Il e s t in s t r u c t if d ’a n a ly s e r l ’é v o lu tio n d ’u n v o lu m e d e l ’e s p a c e d ’é ta t. S o it d o n c K
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d e m e s u r e V d a n s M!\ O n é ta b lit le t h é o r è m e s u iv a n t, d o n t o n p e u t
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