2 . 3
Q u e l q u e s p r o p r i é t é s g é n é r a l e s d u f l o t
2.3.1 T h é o rè m e du re d r e s s e m e n t
N o u s n e d é ta ille r o n s p a s la d é m o n s tr a tio n d e c e th é o r è m e q u i u tilis e le th é o r è m e d e s
f o n c tio n s im p lic ite s . Il s ’é n o n c e a in s i :
Théorème du redressement
S o it u n s y s tè m e x = f ( x ) d é fin i p o u r x e Q , d o m a in e d e
S i / G C ' ( i 2) e t si
f( x \ ) ^ 0 , a lo rs d a n s u n v o is in a g e d e x \ , le c h a m p / e s t lo c a le m e n t c o n ju g u é d e
c la s s e 1 à u n c h a m p c o n s ta n t.
Chapitre 2 • Flot et conjugaison en temps continu
"O O
c
=3
Q
tH
O
(N
X I
DI
>•
Q .
O
U
O n p e u t c h o is ir c o m m e c h a m p c o n s ta n t le c h a m p :
.r = (x\, X2, ’ “ , Xn) 1-^ f { x ) = (0 , 0 , • • • , 0 , 1) G R " . N o u s a v o n s r e n c o n tr é c e
c h a m p d a n s le flo t n° 3 illu s tr a n t, p o u r n = 3 le c h a m p h é lic o ïd a l (§ 2 .2 .3 ).
C e th é o r è m e s ig n ifie q u e « tous les p oin ts réguliers se valent », a u s e n s s u iv a n t :
• U n p o in t régulier e s t u n p o in t e n le q u e l la f o n c tio n d ’é v o lu tio n ( / o u a n a lo g u e )
e s t n o n - n u lle , e n o p p o s itio n a v e c u n équilibre, e n le q u e l / = 0 . N o u s r e v ie n d r o n s
s u r c e s n o tio n s im p o r ta n te s e n d é b u t d u c h a p itr e 3 .
• S i X e t ^ s o n t d e s p o in ts r é g u lie r s d ’u n m ê m e s y s tè m e o u d e d e u x s y s tè m e s d e
m ê m e d im e n s io n , il e x is te u n e c o n ju g a is o n d a n s la q u e lle x e t y s o n t h o m o lo g u e s .
C e la s ig n ifie a u s s i q u e , to u t a u m o in s lo c a le m e n t, u n e é v e n tu e lle r ic h e s s e d e c o m
p o r te m e n t d u flo t n e s a u ra it ê tr e e s p é r é e q u ’a u v o is in a g e d e s é q u ilib r e s . E t c ’e s t b ie n
c e q u e m o n tr e la s u ite d e c e t o u v r a g e : n o n s e u le m e n t le flo t a u v o is in a g e d ’u n é q u ilib r e p e u t a v o ir d e s p h y s io n o m ie s trè s d iv e r s e s , m a is il e s t im p o s s ib le d ’e n f a ir e u n
r e c e n s e m e n t e x h a u s tif. D a n s c e liv re , n o u s n e s a u ro n s c la s s e r le s é q u ilib r e s q u e si
c e u x -c i o n t la p r o p r ié té p a r tic u liè r e d ’ê tr e hyperboliques, n o tio n q u i s e ra d é fin ie e n
te m p s u tile .
2.3.2 Flot d ’un s y s tè m e d y n a m iq u e s u r une v a rié té
in v a ria n te
U n e v a rié té d e d im e n s io n p, n o tio n b r iè v e m e n t é v o q u é e d é jà a u p a ra g r a p h e 1.2 .2 , e s t
u n e n s e m b le h o m é o m o r p h e p a r m o r c e a u x à u n e b o u le d e R^, L a d é fin itio n r ig o u r e u s e
im p o s e d e s c o n d itio n s d e r é g u la r ité a u x r a c c o r d s ( in te r s e c tio n s d e m o r c e a u x ) c o m m e
o n le p r é c is e e n a n n e x e 2.
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Q u e l q u e s p r o p r i é t é s g é n é r a l e s d u f l o t
2.3.1 T h é o rè m e du re d r e s s e m e n t
N o u s n e d é ta ille r o n s p a s la d é m o n s tr a tio n d e c e th é o r è m e q u i u tilis e le th é o r è m e d e s
f o n c tio n s im p lic ite s . Il s ’é n o n c e a in s i :
Théorème du redressement
S o it u n s y s tè m e x = f ( x ) d é fin i p o u r x e Q , d o m a in e d e
S i / G C ' ( i 2) e t si
f( x \ ) ^ 0 , a lo rs d a n s u n v o is in a g e d e x \ , le c h a m p / e s t lo c a le m e n t c o n ju g u é d e
c la s s e 1 à u n c h a m p c o n s ta n t.
Chapitre 2 • Flot et conjugaison en temps continu
"O O
c
=3
Q
tH
O
(N
X I
DI
>•
Q .
O
U
O n p e u t c h o is ir c o m m e c h a m p c o n s ta n t le c h a m p :
.r = (x\, X2, ’ “ , Xn) 1-^ f { x ) = (0 , 0 , • • • , 0 , 1) G R " . N o u s a v o n s r e n c o n tr é c e
c h a m p d a n s le flo t n° 3 illu s tr a n t, p o u r n = 3 le c h a m p h é lic o ïd a l (§ 2 .2 .3 ).
C e th é o r è m e s ig n ifie q u e « tous les p oin ts réguliers se valent », a u s e n s s u iv a n t :
• U n p o in t régulier e s t u n p o in t e n le q u e l la f o n c tio n d ’é v o lu tio n ( / o u a n a lo g u e )
e s t n o n - n u lle , e n o p p o s itio n a v e c u n équilibre, e n le q u e l / = 0 . N o u s r e v ie n d r o n s
s u r c e s n o tio n s im p o r ta n te s e n d é b u t d u c h a p itr e 3 .
• S i X e t ^ s o n t d e s p o in ts r é g u lie r s d ’u n m ê m e s y s tè m e o u d e d e u x s y s tè m e s d e
m ê m e d im e n s io n , il e x is te u n e c o n ju g a is o n d a n s la q u e lle x e t y s o n t h o m o lo g u e s .
C e la s ig n ifie a u s s i q u e , to u t a u m o in s lo c a le m e n t, u n e é v e n tu e lle r ic h e s s e d e c o m
p o r te m e n t d u flo t n e s a u ra it ê tr e e s p é r é e q u ’a u v o is in a g e d e s é q u ilib r e s . E t c ’e s t b ie n
c e q u e m o n tr e la s u ite d e c e t o u v r a g e : n o n s e u le m e n t le flo t a u v o is in a g e d ’u n é q u ilib r e p e u t a v o ir d e s p h y s io n o m ie s trè s d iv e r s e s , m a is il e s t im p o s s ib le d ’e n f a ir e u n
r e c e n s e m e n t e x h a u s tif. D a n s c e liv re , n o u s n e s a u ro n s c la s s e r le s é q u ilib r e s q u e si
c e u x -c i o n t la p r o p r ié té p a r tic u liè r e d ’ê tr e hyperboliques, n o tio n q u i s e ra d é fin ie e n
te m p s u tile .
2.3.2 Flot d ’un s y s tè m e d y n a m iq u e s u r une v a rié té
in v a ria n te
U n e v a rié té d e d im e n s io n p, n o tio n b r iè v e m e n t é v o q u é e d é jà a u p a ra g r a p h e 1.2 .2 , e s t
u n e n s e m b le h o m é o m o r p h e p a r m o r c e a u x à u n e b o u le d e R^, L a d é fin itio n r ig o u r e u s e
im p o s e d e s c o n d itio n s d e r é g u la r ité a u x r a c c o r d s ( in te r s e c tio n s d e m o r c e a u x ) c o m m e
o n le p r é c is e e n a n n e x e 2.
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