Chapitre 3 • Équilibres
3 . 3
A u t r e s n o t i o n s
3.3.1 S ta b ilité d ’un e n s e m b le
U n e n s e m b le A in v a r ia n t p a r le flo t e s t stable si e t s e u le m e n t si p o u r to u t v o is in a g e
U d e y4 , il e x is te u n v o is in a g e V d e A te l q u e Vr > 0 , 0 ( r , V) c U. O n d it e n c o r e
q u e l ’e n s e m b le e s t stable au sens de Liapounov. O n c o n s ta te q u ’u n s in g le to n s ta b le
a u s e n s d é fin i ic i e s t u n é q u ilib r e s ta b le a u s e n s a n té r ie u r e m e n t d é fin i, c e q u i ju s tif ie
l ’e m p lo i d u m ê m e a d je c tif.
Remarque sur le vocabulaire
En mathématiques, on rencontre l’adjectif stable dans un autre sens : on dit d’une
façon générale que X est stable par g si g(X) c X.
Cette notion s’apparente à ce que nous appelons l’invariance (prendre à cet effet
g{X) = (j}{t > 0, X)) mais diffère de la stabilité au sens de Liapounov.
■ a
O
c
U
û
kD 1— H
O
rsl
(y)
C T
> -
C L
O
U
3.3.2 B a s s in d ’a ttra ctio n
L ’é q u ilib r e a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le 0 d u s y s tè m e x = - x d é fin i d a n s
a ttir e to u t
p o in t X G R.". P r é c is é m e n t : V x e
lim
x), {0 }] = 0 , o ù d[(p(t, x ), {0 }]
t — > o o
r e p r é s e n te la d is ta n c e d e 0 ( /, x ) à l ’e n s e m b le {0 }. N o u s g é n é r a lis o n s a in si c e tte d é fin itio n : n o u s d iro n s q u e l ’e n s e m b le A c O attire l ’e n s e m b le 5 c O si e t s e u le m e n t
si le s d e s c e n d a n ts d e to u t p o in t d e B se r a p p r o c h e n t à u n e d is ta n c e a r b itr a ir e m e n t
f a ib le d e A , d o n c si V x e B , lim d[(p(t, x ), A ] = 0 . S i l ’e n s e m b le A a ttire l ’u n d e s e s
t — ¥ 0 0
v o is in a g e s , il e s t d it attractif.
O n a p p e lle bassin d’attraction d e A e t o n n o te Att(A) l ’e n s e m b le d e s p o in ts a ttiré s
p a r A , c ’e s t- à - d ir e le p lu s g r a n d e n s e m b le a ttir é p a r A . N o u s r e tr o u v e r o n s c e tte n o tio n
a u § 7 .2.1 d a n s le c a s o ù A e s t u n e o r b ite p é rio d iq u e .
Exemples et remarques
1. Pour tout système et tout équilibre xo, le bassin d’attraction de xo est nonvide car il comprend trivialement xo ; ceci vaut même pour un équilibre répulsif
et/ou instable.
2. Le bassin d’attraction d’un équilibre attractif est un v o isin a g e de ce point :
en effet, il contient le voisinage W évoqué dans la définition des équilibres
attractifs.
3. Dans Q. = R", le bassin d’attraction de l’équilibre 0, seul équilibre du système
X = - X est Q. lui-même.
4. Sur n = R, le bassin d’attraction de l’équilibre 0, seul équilibre du système
X = x^, est l’ensemble R_ ; on notera que 0 est instable et n’est pas attractif. Un
équilibre non attractif xo peut donc posséder un bassin d’attraction contenant
d’autres points que lui-même.
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A u t r e s n o t i o n s
3.3.1 S ta b ilité d ’un e n s e m b le
U n e n s e m b le A in v a r ia n t p a r le flo t e s t stable si e t s e u le m e n t si p o u r to u t v o is in a g e
U d e y4 , il e x is te u n v o is in a g e V d e A te l q u e Vr > 0 , 0 ( r , V) c U. O n d it e n c o r e
q u e l ’e n s e m b le e s t stable au sens de Liapounov. O n c o n s ta te q u ’u n s in g le to n s ta b le
a u s e n s d é fin i ic i e s t u n é q u ilib r e s ta b le a u s e n s a n té r ie u r e m e n t d é fin i, c e q u i ju s tif ie
l ’e m p lo i d u m ê m e a d je c tif.
Remarque sur le vocabulaire
En mathématiques, on rencontre l’adjectif stable dans un autre sens : on dit d’une
façon générale que X est stable par g si g(X) c X.
Cette notion s’apparente à ce que nous appelons l’invariance (prendre à cet effet
g{X) = (j}{t > 0, X)) mais diffère de la stabilité au sens de Liapounov.
■ a
O
c
U
û
kD 1— H
O
rsl
(y)
C T
> -
C L
O
U
3.3.2 B a s s in d ’a ttra ctio n
L ’é q u ilib r e a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le 0 d u s y s tè m e x = - x d é fin i d a n s
a ttir e to u t
p o in t X G R.". P r é c is é m e n t : V x e
lim
x), {0 }] = 0 , o ù d[(p(t, x ), {0 }]
t — > o o
r e p r é s e n te la d is ta n c e d e 0 ( /, x ) à l ’e n s e m b le {0 }. N o u s g é n é r a lis o n s a in si c e tte d é fin itio n : n o u s d iro n s q u e l ’e n s e m b le A c O attire l ’e n s e m b le 5 c O si e t s e u le m e n t
si le s d e s c e n d a n ts d e to u t p o in t d e B se r a p p r o c h e n t à u n e d is ta n c e a r b itr a ir e m e n t
f a ib le d e A , d o n c si V x e B , lim d[(p(t, x ), A ] = 0 . S i l ’e n s e m b le A a ttire l ’u n d e s e s
t — ¥ 0 0
v o is in a g e s , il e s t d it attractif.
O n a p p e lle bassin d’attraction d e A e t o n n o te Att(A) l ’e n s e m b le d e s p o in ts a ttiré s
p a r A , c ’e s t- à - d ir e le p lu s g r a n d e n s e m b le a ttir é p a r A . N o u s r e tr o u v e r o n s c e tte n o tio n
a u § 7 .2.1 d a n s le c a s o ù A e s t u n e o r b ite p é rio d iq u e .
Exemples et remarques
1. Pour tout système et tout équilibre xo, le bassin d’attraction de xo est nonvide car il comprend trivialement xo ; ceci vaut même pour un équilibre répulsif
et/ou instable.
2. Le bassin d’attraction d’un équilibre attractif est un v o isin a g e de ce point :
en effet, il contient le voisinage W évoqué dans la définition des équilibres
attractifs.
3. Dans Q. = R", le bassin d’attraction de l’équilibre 0, seul équilibre du système
X = - X est Q. lui-même.
4. Sur n = R, le bassin d’attraction de l’équilibre 0, seul équilibre du système
X = x^, est l’ensemble R_ ; on notera que 0 est instable et n’est pas attractif. Un
équilibre non attractif xo peut donc posséder un bassin d’attraction contenant
d’autres points que lui-même.
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