Chapitre 2 • Flot et conjugaison en temps continu
Flot n° 2
G r â c e a u c h o ix d e H , l ’a p p lic a tio n
m o r p h is m e d e Q d a n s u n e p a r tie d e
f x )
(x )
( r )
^¡x^ + y^ ^
y
Ip y
=
6
a rc ta n {yjx)
U J
U J U J l
^
)
e s t u n difFéoL ’é q u a tio n ( r , Ù, z) =
0, z) d u s y s tè m e , n o té S 2 a v e c n o s n o u v e lle s c o o r
d o n n é e s ( c y lin d r iq u e s ) , p e u t a lo rs s ’o b te n ir g r â c e à la r e la tio n d e c o n ju g a is o n d e s
s y s tè m e s 5'i e t ^ 2 : V i^ [ /i( x ) ] =
D e s a r é s o lu tio n , q u i f a it l ’o b je t d e
l ’e x e r c ic e 2.3, o n d é d u it q u e / 2 est con stan t :
fi{ r , 0, z) =
^0^
1
v l/
, c e q u i c o r r e s p o n d a u flo t
T J
O
c
rj
û
« J D
tH
O
CM
(y)
X I
OJ
> -
Q.
O
U
E x e r c ic e 2 .3 D éterm in a tio n d 'u n flot c o n ju g u é
L e s y s tè m e h é lic o ïd a l S \ a p o u r é q u a tio n d ’é v o lu tio n (jc, i), z) = { -y , x, 1), n o té
ici f\{x , y, z). L ’a p p lic a tio n {x, y, z) ^ j/(x, y, z) = (r, 6, z) p r é c é d e m m e n t d é fin ie e s t u n d if f é o m o r p h is m e d e c la s s e
c a r o n a c h o is i p o u r c e la le d o m a in e
d ’a p p a r te n a n c e d e (x , y, z).
1. E x p r im e r la m a tr ic e Vi// e n f o n c tio n d e ( r , 6, z)2 . N o ta n t ( r , Ù, z) = f i i r , 0 , z) l ’é q u a tio n d ’é v o lu tio n d u s y s tè m e (a lo rs n o té S 2)
e n c o o r d o n n é e s c y c lin d r iq u e s , d é te r m in e r /2 à p a r tir d e la c o n d itio n d e c o n ju
g a is o n Vi//\J\(x)] = /2[
(p iit, ro, Oq , zo) d u s y s tè m e 52.
M a is o n p o u v a it d a n s c e t e x e m p le p a r tic u lie r o p é r e r p lu s s im p le m e n t, c a r l ’a n a ly s e
c in é m a tiq u e n o u s f o u r n it im m é d ia te m e n t l ’é v o lu tio n d e l ’é ta t ( r , 6, z) : e n e ffe t, r e s t
c o n s ta n t e t ^ e t z o n t c h a c u n 1 p o u r d é riv é e p a r r a p p o r t a u te m p s .
m
D ’o ù le c h a m p a s s o c ié a u flo t c i- d e s s u s : / 2 ( r , 6, z) = 1
vl/
O n r e tr o u v e b ie n le
c h a m p c o n s ta n t, d o n c n o n - lin é a ir e , d é jà é v o q u é . O n n o te r a q u e la n o tio n « c h a m p
c o n s ta n t » n ’e s t p a s c o n s e r v é e p a r c o n ju g a is o n .
28
Flot n° 2
G r â c e a u c h o ix d e H , l ’a p p lic a tio n
m o r p h is m e d e Q d a n s u n e p a r tie d e
f x )
(x )
( r )
^¡x^ + y^ ^
y
Ip y
=
6
a rc ta n {yjx)
U J
U J U J l
^
)
e s t u n difFéoL ’é q u a tio n ( r , Ù, z) =
0, z) d u s y s tè m e , n o té S 2 a v e c n o s n o u v e lle s c o o r
d o n n é e s ( c y lin d r iq u e s ) , p e u t a lo rs s ’o b te n ir g r â c e à la r e la tio n d e c o n ju g a is o n d e s
s y s tè m e s 5'i e t ^ 2 : V i^ [ /i( x ) ] =
D e s a r é s o lu tio n , q u i f a it l ’o b je t d e
l ’e x e r c ic e 2.3, o n d é d u it q u e / 2 est con stan t :
fi{ r , 0, z) =
^0^
1
v l/
, c e q u i c o r r e s p o n d a u flo t
T J
O
c
rj
û
« J D
tH
O
CM
(y)
X I
OJ
> -
Q.
O
U
E x e r c ic e 2 .3 D éterm in a tio n d 'u n flot c o n ju g u é
L e s y s tè m e h é lic o ïd a l S \ a p o u r é q u a tio n d ’é v o lu tio n (jc, i), z) = { -y , x, 1), n o té
ici f\{x , y, z). L ’a p p lic a tio n {x, y, z) ^ j/(x, y, z) = (r, 6, z) p r é c é d e m m e n t d é fin ie e s t u n d if f é o m o r p h is m e d e c la s s e
c a r o n a c h o is i p o u r c e la le d o m a in e
d ’a p p a r te n a n c e d e (x , y, z).
1. E x p r im e r la m a tr ic e Vi// e n f o n c tio n d e ( r , 6, z)2 . N o ta n t ( r , Ù, z) = f i i r , 0 , z) l ’é q u a tio n d ’é v o lu tio n d u s y s tè m e (a lo rs n o té S 2)
e n c o o r d o n n é e s c y c lin d r iq u e s , d é te r m in e r /2 à p a r tir d e la c o n d itio n d e c o n ju
g a is o n Vi//\J\(x)] = /2[
(p iit, ro, Oq , zo) d u s y s tè m e 52.
M a is o n p o u v a it d a n s c e t e x e m p le p a r tic u lie r o p é r e r p lu s s im p le m e n t, c a r l ’a n a ly s e
c in é m a tiq u e n o u s f o u r n it im m é d ia te m e n t l ’é v o lu tio n d e l ’é ta t ( r , 6, z) : e n e ffe t, r e s t
c o n s ta n t e t ^ e t z o n t c h a c u n 1 p o u r d é riv é e p a r r a p p o r t a u te m p s .
m
D ’o ù le c h a m p a s s o c ié a u flo t c i- d e s s u s : / 2 ( r , 6, z) = 1
vl/
O n r e tr o u v e b ie n le
c h a m p c o n s ta n t, d o n c n o n - lin é a ir e , d é jà é v o q u é . O n n o te r a q u e la n o tio n « c h a m p
c o n s ta n t » n ’e s t p a s c o n s e r v é e p a r c o n ju g a is o n .
28