2.2. Conjugaison des systèmes dynamiques
C ’e s t a u s s i le c h a m p d e v ite s s e d u s o lid e « tir e - b o u c h o n » o b te n u lo rs q u e , b o u te ille
e t b o u c h o n r e s ta n t fix e s , o n r e tire le tir e - b o u c h o n e n le d é v is s a n t v e rs le h a u t.
Nota : n o u s restreignons c o n v e n a b le m e n t le d o m a in e Î 2 d ’a p p a r te n a n c e d e
(x , ij, z) p o u r é v ite r to u t p r o b lè m e d e d é te r m in a tio n d e 6 e t p o u r q u e le p a s s a g e e n
c o o r d o n n é e s c y lin d r iq u e s (v o ir le flo t n° 2 ) s o it b ije c tif e t r é g u lie r (d ifF é o m o rp h is m e ).
Flot n° 1
L ’é q u a tio n d ’é v o lu tio n d e l ’é ta t (x , y, z) e s t :
A
N o n - a d d it i f à c a u s e d e l ’é q u a tio n z = 1, c e s y s tè m e n ’e s t d o n c p a s lin é a ire .
-1/
ÿ
X
K 1 >
/-)
X
1
fix. y. z)
T J
O
c
rj
û
« J D
tH
O
CM
x z
D I
>•
C L
O
U
Q
©
Figure 2.6- Une trajectoire hélicoïdale.
L e s y s tè m e S i s ’in té g r e a n a ly tiq u e m e n t :
4 0 \ ^ .Al(x{)
y(t) /
l i/o
c o s t - s in r W Ao
s in î
c o s t ] \ y o
Xo
c o s Oq
P o s a n t I "" I = ^0 I
I a v e c ro e R + e t
^1 ~
il v ie n t, c o m p te te n u d u
\yo I
\ sin Oq I
f a it q u e z s ’in té g r e e n z(t) = zo + t :
0](L -V qj yo, ^o) =
^ ro c o s ( / -I- Oo) ^
ro s in ( r -H Oo)
Zo + 1
• (-^0» yoj ^o) ^
f/Oj ^o) e s t u n d é p la c e m e n t d e R ^ , p r o d u it ( c o m m u ta tif )
d ’u n e tr a n s la tio n d e v e c te u r (0 , 0 , t) e t d ’u n e r o ta tio n d ’a n g le t a u to u r d e Oz.
• L e s o r b ite s s o n t p o r té e s p a r d e s h é lic e s c ir c u la ir e s d e p a s 2n e t d ’a x e Oz.
27
C ’e s t a u s s i le c h a m p d e v ite s s e d u s o lid e « tir e - b o u c h o n » o b te n u lo rs q u e , b o u te ille
e t b o u c h o n r e s ta n t fix e s , o n r e tire le tir e - b o u c h o n e n le d é v is s a n t v e rs le h a u t.
Nota : n o u s restreignons c o n v e n a b le m e n t le d o m a in e Î 2 d ’a p p a r te n a n c e d e
(x , ij, z) p o u r é v ite r to u t p r o b lè m e d e d é te r m in a tio n d e 6 e t p o u r q u e le p a s s a g e e n
c o o r d o n n é e s c y lin d r iq u e s (v o ir le flo t n° 2 ) s o it b ije c tif e t r é g u lie r (d ifF é o m o rp h is m e ).
Flot n° 1
L ’é q u a tio n d ’é v o lu tio n d e l ’é ta t (x , y, z) e s t :
A
N o n - a d d it i f à c a u s e d e l ’é q u a tio n z = 1, c e s y s tè m e n ’e s t d o n c p a s lin é a ire .
-1/
ÿ
X
K 1 >
/-)
X
1
fix. y. z)
T J
O
c
rj
û
« J D
tH
O
CM
x z
D I
>•
C L
O
U
Q
©
Figure 2.6- Une trajectoire hélicoïdale.
L e s y s tè m e S i s ’in té g r e a n a ly tiq u e m e n t :
4 0 \ ^ .Al(x{)
y(t) /
l i/o
c o s t - s in r W Ao
s in î
c o s t ] \ y o
Xo
c o s Oq
P o s a n t I "" I = ^0 I
I a v e c ro e R + e t
^1 ~
il v ie n t, c o m p te te n u d u
\yo I
\ sin Oq I
f a it q u e z s ’in té g r e e n z(t) = zo + t :
0](L -V qj yo, ^o) =
^ ro c o s ( / -I- Oo) ^
ro s in ( r -H Oo)
Zo + 1
• (-^0» yoj ^o) ^
f/Oj ^o) e s t u n d é p la c e m e n t d e R ^ , p r o d u it ( c o m m u ta tif )
d ’u n e tr a n s la tio n d e v e c te u r (0 , 0 , t) e t d ’u n e r o ta tio n d ’a n g le t a u to u r d e Oz.
• L e s o r b ite s s o n t p o r té e s p a r d e s h é lic e s c ir c u la ir e s d e p a s 2n e t d ’a x e Oz.
27