Chapitre 2 • Flot et conjugaison en temps continu
D o n c , si r I-» x(t) e s t u n e tr a je c to ir e d u s y s tè m e in itia l, t i-» y{t) = (i// o x){t) e s t u n e
tr a je c to ir e d u s y s tè m e ÿ = g(y).
O n p e u t s ’e x p r im e r d iff é re m m e n t, e n s e r a p p r o c h a n t d u v o c a b u la ir e d e s p h y s ic ie n s o u d e s m é c a n ic ie n s , e n d is a n t q u e le d if f é o m o r p h is m e ijj e s t u n changement
de paramétrage, e x p r e s s io n d a n s la q u e lle o n d é s ig n e p a r p a r a m è tr e s le s g r a n d e u r s
c o n s titu tiv e s d e l ’é ta t. A in s i, d ’a p rè s c e q u i p r é c è d e , o n a s s o c ie à to u t c h a n g e m e n t d e
p a r a m é tr a g e u n e c o n ju g a is o n , c e q u i s ’a c c o r d e a v e c l ’in tu itio n . N o u s r e tie n d r o n s :
Changement de paramétrage (par difféomorphisme)
S o it le s y s tè m e x = f { x ) lo c a le m e n t lip s c h itz ie n s u r jr E O d o m a in e d e
e t if/ u n
d if f é o m o r p h is m e d e Î 2 s u r
A lo r s , le s y s tè m e y = g(y) d é fin i s u r
p a r
g =
O f O
e s t co n ju g u é de classe 1 p a r ifj d u s y s tè m e x = f( x ) .
T J
O
c
Q
tH
O rsj
X I
D J
\_
>•
Q .
O
U
A v a n t d ’e n tr a ite r u n e x e m p le , u n ra p p e l p r a tiq u e e s t u tile . L e r é s u lta t s ’é ta b lit s a n s
d if h c u lté e n u tilis a n t la s é rie d e l ’e x p o n e n tie lle d ’u n e m a tr ic e :
si A =
j , a lo r s
~
c o s /? - sinZ?
sin b c o s b
E x e m p le d u c h a m p h é lic o ïd a l
Nota : par souci de lisibilité, on représentera dans ce paragraphe les vecteurs en
, Jeu indifféremment par des vecteurs-lignes ou des vecteurs-colonnes.
O n c o n s id è r e le c h a m p h é lic o ïd a l d a n s
d a n s le q u e l to u t é ta t « s p ira le » a u to u r
d e l ’a x e v e rtic a l à v ite s s e a n g u la ir e c o n s ta n te e t v ite s s e v e r tic a le c o n s ta n te : c ’e s t p a r
e x e m p le le c h a m p d e v ite s s e d u s o lid e d é fin i p a r le r o to r p r in c ip a l d ’u n h é lic o p tè r e
e n a s c e n s io n v e rtic a le u n if o r m e , si o n a s s im ile d a n s c e c a s trè s p a r tic u lie r le r o to r à
u n s o lid e i n d é f o r m a b le (c e q u i n ’e s t p lu s le c a s e n tr a n s la tio n h o r iz o n ta le ).
26
D o n c , si r I-» x(t) e s t u n e tr a je c to ir e d u s y s tè m e in itia l, t i-» y{t) = (i// o x){t) e s t u n e
tr a je c to ir e d u s y s tè m e ÿ = g(y).
O n p e u t s ’e x p r im e r d iff é re m m e n t, e n s e r a p p r o c h a n t d u v o c a b u la ir e d e s p h y s ic ie n s o u d e s m é c a n ic ie n s , e n d is a n t q u e le d if f é o m o r p h is m e ijj e s t u n changement
de paramétrage, e x p r e s s io n d a n s la q u e lle o n d é s ig n e p a r p a r a m è tr e s le s g r a n d e u r s
c o n s titu tiv e s d e l ’é ta t. A in s i, d ’a p rè s c e q u i p r é c è d e , o n a s s o c ie à to u t c h a n g e m e n t d e
p a r a m é tr a g e u n e c o n ju g a is o n , c e q u i s ’a c c o r d e a v e c l ’in tu itio n . N o u s r e tie n d r o n s :
Changement de paramétrage (par difféomorphisme)
S o it le s y s tè m e x = f { x ) lo c a le m e n t lip s c h itz ie n s u r jr E O d o m a in e d e
e t if/ u n
d if f é o m o r p h is m e d e Î 2 s u r
A lo r s , le s y s tè m e y = g(y) d é fin i s u r
p a r
g =
O f O
e s t co n ju g u é de classe 1 p a r ifj d u s y s tè m e x = f( x ) .
T J
O
c
Q
tH
O rsj
X I
D J
\_
>•
Q .
O
U
A v a n t d ’e n tr a ite r u n e x e m p le , u n ra p p e l p r a tiq u e e s t u tile . L e r é s u lta t s ’é ta b lit s a n s
d if h c u lté e n u tilis a n t la s é rie d e l ’e x p o n e n tie lle d ’u n e m a tr ic e :
si A =
j , a lo r s
~
c o s /? - sinZ?
sin b c o s b
E x e m p le d u c h a m p h é lic o ïd a l
Nota : par souci de lisibilité, on représentera dans ce paragraphe les vecteurs en
, Jeu indifféremment par des vecteurs-lignes ou des vecteurs-colonnes.
O n c o n s id è r e le c h a m p h é lic o ïd a l d a n s
d a n s le q u e l to u t é ta t « s p ira le » a u to u r
d e l ’a x e v e rtic a l à v ite s s e a n g u la ir e c o n s ta n te e t v ite s s e v e r tic a le c o n s ta n te : c ’e s t p a r
e x e m p le le c h a m p d e v ite s s e d u s o lid e d é fin i p a r le r o to r p r in c ip a l d ’u n h é lic o p tè r e
e n a s c e n s io n v e rtic a le u n if o r m e , si o n a s s im ile d a n s c e c a s trè s p a r tic u lie r le r o to r à
u n s o lid e i n d é f o r m a b le (c e q u i n ’e s t p lu s le c a s e n tr a n s la tio n h o r iz o n ta le ).
26