S o ie n t d o n c d e u x s y s tè m e s lin é a ir e s S \ e t 5 2 d e m a tr ic e s r e s p e c tiv e s A e t B.
(B = P~'A P)
C o n s id é r o n s a lo r s l ’h o m é o m o r p h is m e d e R " s u r lu i- m ê m e x € R " h-» ¡¡/(x) = P ~ 'x .
V é r if io n s la c o n d itio n é ta b lie a u p a r a g r a p h e p r é c é d e n t : Vijj o / | = /2 o «A
1^^ membre : Vijj o /1 =
o / j , c a r a: i- >
= P~^ x e s t lin é a ir e
= P-^A
2^ membre
: /2 ° < A = B o ip
= BP-^
O n a P~^ A = B P~^ c a r B = P~^A P.
P a r c o n s é q u e n t, la c o n d itio n d e c o n ju g a is o n e s t s a tis fa ite . D o n c :
S i A e t B, m a tr ic e s d ’é v o lu tio n d e s s y s tè m e s lin é a ir e s 5 1 e t ^ 2 , s o n t s e m b la b le s
a v e c B = P~^A P , a lo r s S \ e t 5*2 s o n t c o n ju g u é s p a r l ’h o m é o m o r p h is m e ip = P “ ' .
2.2. Conjugaison des systèmes dynamiques
■a
O c D
Q
k D
O
rs]
ai
'1^
> -
C L
O
U
û
@
Remarques
1. La conjugaison de systèmes linéaires par similarité est de classe infinie.
2 . La similitude de A et 5 est une condition suffisante de conjugaison des deux systèmes. Nous avons vu (exercice 2.2) et confirmerons plus loin qu’elle n’est pas
nécessaire : deux systèmes linéaires non semblables peuvent être conjugués. En
fait, la conjugaison est une notion très souple et les orbites de deux systèmes
conjugués peuvent être d’aspects très différents.
2 .2 . 3 T r a n s fo rm a tio n d ’un s y s tè m e p a r d iffé o m o rp h ism e
C o n s id é r o n s le s y s tè m e x = f ( x ) a v e c x G i l , d o m a in e d e W \ e t / lo c a le m e n t lip -
s c h itz ie n n e .
U n e b ije c tio n ip s u ff is a m m e n t r é g u liè r e d e Çi s u r ip{Q), d o m a in e d e
p e r m e t
d e d é fin ir u n n o u v e a u s y s tè m e , tr a n s f o r m é d u s y s tè m e in itia l ( fig u re 2 .5). P lu s p r é
c is é m e n t, o n s u p p o s e q u e ip e s t u n difféomorphisme de classe
c ’e s t- à - d ir e u n e
b ije c tio n q u i, d e m ê m e q u e s a r é c ip r o q u e ip~\ e s t c o n tin û m e n t d iff é re n tia b le .
P o s o n s
g = Vip O f O ip~^ c ’e s t- à - d ir e :
Vi/ €
cj{y) = V4/{x) ( f(x )) , o ù X =
A lo r s , le c h a m p g, a p p e lé image directe du champ / par ip, e s t lu i- m ê m e d e
c la s s e
s u r le d o m a in e ip{0), d o n c lo c a le m e n t lip s c h itz ie n .
C o m m e g = V\p 0 / 0 ip~^^ on ' à g o ip = Vip o / , c e q u i, n o u s l ’a v o n s v u au
p a r a g r a p h e 2 .2 .1 , c a ra c té r is e le f a it q u e le s s y s tè m e s d ’é ta ts r e s p e c tif s jc e t ^ d é fin is
p a r le s é q u a tio n s d ’é v o lu tio n x = f ( x ) ot ij = g{y) s o n t co n ju g u és de classe 1 p a r ip.
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(B = P~'A P)
C o n s id é r o n s a lo r s l ’h o m é o m o r p h is m e d e R " s u r lu i- m ê m e x € R " h-» ¡¡/(x) = P ~ 'x .
V é r if io n s la c o n d itio n é ta b lie a u p a r a g r a p h e p r é c é d e n t : Vijj o / | = /2 o «A
1^^ membre : Vijj o /1 =
o / j , c a r a: i- >
= P~^ x e s t lin é a ir e
= P-^A
2^ membre
: /2 ° < A = B o ip
= BP-^
O n a P~^ A = B P~^ c a r B = P~^A P.
P a r c o n s é q u e n t, la c o n d itio n d e c o n ju g a is o n e s t s a tis fa ite . D o n c :
S i A e t B, m a tr ic e s d ’é v o lu tio n d e s s y s tè m e s lin é a ir e s 5 1 e t ^ 2 , s o n t s e m b la b le s
a v e c B = P~^A P , a lo r s S \ e t 5*2 s o n t c o n ju g u é s p a r l ’h o m é o m o r p h is m e ip = P “ ' .
2.2. Conjugaison des systèmes dynamiques
■a
O c D
Q
k D
O
rs]
ai
'1^
> -
C L
O
U
û
@
Remarques
1. La conjugaison de systèmes linéaires par similarité est de classe infinie.
2 . La similitude de A et 5 est une condition suffisante de conjugaison des deux systèmes. Nous avons vu (exercice 2.2) et confirmerons plus loin qu’elle n’est pas
nécessaire : deux systèmes linéaires non semblables peuvent être conjugués. En
fait, la conjugaison est une notion très souple et les orbites de deux systèmes
conjugués peuvent être d’aspects très différents.
2 .2 . 3 T r a n s fo rm a tio n d ’un s y s tè m e p a r d iffé o m o rp h ism e
C o n s id é r o n s le s y s tè m e x = f ( x ) a v e c x G i l , d o m a in e d e W \ e t / lo c a le m e n t lip -
s c h itz ie n n e .
U n e b ije c tio n ip s u ff is a m m e n t r é g u liè r e d e Çi s u r ip{Q), d o m a in e d e
p e r m e t
d e d é fin ir u n n o u v e a u s y s tè m e , tr a n s f o r m é d u s y s tè m e in itia l ( fig u re 2 .5). P lu s p r é
c is é m e n t, o n s u p p o s e q u e ip e s t u n difféomorphisme de classe
c ’e s t- à - d ir e u n e
b ije c tio n q u i, d e m ê m e q u e s a r é c ip r o q u e ip~\ e s t c o n tin û m e n t d iff é re n tia b le .
P o s o n s
g = Vip O f O ip~^ c ’e s t- à - d ir e :
Vi/ €
cj{y) = V4/{x) ( f(x )) , o ù X =
A lo r s , le c h a m p g, a p p e lé image directe du champ / par ip, e s t lu i- m ê m e d e
c la s s e
s u r le d o m a in e ip{0), d o n c lo c a le m e n t lip s c h itz ie n .
C o m m e g = V\p 0 / 0 ip~^^ on ' à g o ip = Vip o / , c e q u i, n o u s l ’a v o n s v u au
p a r a g r a p h e 2 .2 .1 , c a ra c té r is e le f a it q u e le s s y s tè m e s d ’é ta ts r e s p e c tif s jc e t ^ d é fin is
p a r le s é q u a tio n s d ’é v o lu tio n x = f ( x ) ot ij = g{y) s o n t co n ju g u és de classe 1 p a r ip.
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