Chapitre 2 • Flot et conjugaison en temps continu
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x: O J
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Q .
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( J
E x e r c ic e 2 .2 C o n ju g a iso n c e n trifu g e - cen trip è te
S o it le s y s tè m e S \ d ’é q u a tio n d ’é v o lu tio n x = x ( tr a je c to ir e s c e n tr if u g e s ) ,
a v e c X G
= R*. (On notera que Cl, ouvert non connexe, n ’est pas un domaine)
1. V é r if ie r q u e le th é o r è m e d e C a u c h y - L ip s c h itz s ’a p p liq u e .
S o it .vo G Î 2i. E x p lic ite r p a r le s m o y e n s é lé m e n ta ir e s c la s s iq u e s la s o lu tio n
s a tis f a is a n t x (0 ) = xq, e t d é te r m in e r s a p la g e te m p o r e lle / ( xq).
2 . R e c e n s e r le s o r b ite s d u s y s tè m e S \. Q u e d e v ie n t c e r e c e n s e m e n t p o u r le s y s tè m e
Z d e m ê m e é q u a tio n , m a is é te n d u à x G R ?
3 . S o it 5 2 le s y s tè m e d ’é q u a tio n d ’é v o lu tio n x = - x ( tr a je c to ir e s c e n tr ip è te s ) , a v e c
x e Ç l 2 = R*.
(a) E x p r im e r le s flo ts 0 i ( / , x) e t 0 2 ( ^ -^)(b ) S o it ij/ l ’a p p lic a tio n x G
i - » ip(x) = - G Î 22S a c h a n t q u e Î 2i = Î22, v é rif ie r q u e ip o j j
l ’id e n tité d e Î 2i (e t Q2), e t q u e
(p e s t u n h o m é o m o r p h is m e .
(c ) M o n tr e r q u e 5 1 e t 5 2 s o n t c o n ju g u é s p a r ip.
4 . Généralisation à lE" — {0 } : o n d é fin it to u jo u r s S \ p a r x - x s u r
e t 5 2 p a r
X = - X s u r ÎÎ2 , a v e c d é s o r m a is i l i = Î 22 =
- {0 }
(a ) E x p r im e r le s flo ts J)\(t, x) e t (p2(t, x).
X
(b ) S o it ip l ’a p p lic a tio n x G
i-> ip(x) = — - G ÇI2.
S a c h a n t q u e H ] = ÇI2, v é rif ie r q u e ip oip
l ’id e n tité d e i l ] ( e t Î22), e t q u e
ip e s t u n h o m é o m o r p h is m e .
(c ) M o n tr e r q u e 5 1 e t 5 2 s o n t c o n ju g u é s p a r ip.
2 .2 . 2
C o n ju g a is o n d e s s y s t è m e s lin é a ire s s e m b la b le s
L e s y s tè m e ré g i p a r x = / ( x ) e s t linéaire si e t s e u le m e n t si, o n l ’a v u p r é c é d e m m e n t,
il e s t d e la f o r m e x = A x , o ù A e s t u n e m a tr ic e n x n .
D e u x s y s tè m e s lin é a ir e s x = Axetÿ = B y de m ê m e d im e n s io n n s o n t semblables
si le s m a tr ic e s A et B s o n t s e m b la b le s , c ’e s t- à - d ir e si e lle s r e p r é s e n te n t le m ê m e
e n d o m o r p h is m e d a n s d e u x b a s e s ( é v e n tu e lle m e n t id e n tiq u e s ) d e
la m a tr ic e d e
c h a n g e m e n t d e b a s e é ta n t P , a v e c P = P “ *A P .
(Rappelons que la relation de sim ilitude « A est sem blable à B »
est une relation d ’équivalence)
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E x e r c ic e 2 .2 C o n ju g a iso n c e n trifu g e - cen trip è te
S o it le s y s tè m e S \ d ’é q u a tio n d ’é v o lu tio n x = x ( tr a je c to ir e s c e n tr if u g e s ) ,
a v e c X G
= R*. (On notera que Cl, ouvert non connexe, n ’est pas un domaine)
1. V é r if ie r q u e le th é o r è m e d e C a u c h y - L ip s c h itz s ’a p p liq u e .
S o it .vo G Î 2i. E x p lic ite r p a r le s m o y e n s é lé m e n ta ir e s c la s s iq u e s la s o lu tio n
s a tis f a is a n t x (0 ) = xq, e t d é te r m in e r s a p la g e te m p o r e lle / ( xq).
2 . R e c e n s e r le s o r b ite s d u s y s tè m e S \. Q u e d e v ie n t c e r e c e n s e m e n t p o u r le s y s tè m e
Z d e m ê m e é q u a tio n , m a is é te n d u à x G R ?
3 . S o it 5 2 le s y s tè m e d ’é q u a tio n d ’é v o lu tio n x = - x ( tr a je c to ir e s c e n tr ip è te s ) , a v e c
x e Ç l 2 = R*.
(a) E x p r im e r le s flo ts 0 i ( / , x) e t 0 2 ( ^ -^)(b ) S o it ij/ l ’a p p lic a tio n x G
i - » ip(x) = - G Î 22S a c h a n t q u e Î 2i = Î22, v é rif ie r q u e ip o j j
l ’id e n tité d e Î 2i (e t Q2), e t q u e
(p e s t u n h o m é o m o r p h is m e .
(c ) M o n tr e r q u e 5 1 e t 5 2 s o n t c o n ju g u é s p a r ip.
4 . Généralisation à lE" — {0 } : o n d é fin it to u jo u r s S \ p a r x - x s u r
e t 5 2 p a r
X = - X s u r ÎÎ2 , a v e c d é s o r m a is i l i = Î 22 =
- {0 }
(a ) E x p r im e r le s flo ts J)\(t, x) e t (p2(t, x).
X
(b ) S o it ip l ’a p p lic a tio n x G
i-> ip(x) = — - G ÇI2.
S a c h a n t q u e H ] = ÇI2, v é rif ie r q u e ip oip
l ’id e n tité d e i l ] ( e t Î22), e t q u e
ip e s t u n h o m é o m o r p h is m e .
(c ) M o n tr e r q u e 5 1 e t 5 2 s o n t c o n ju g u é s p a r ip.
2 .2 . 2
C o n ju g a is o n d e s s y s t è m e s lin é a ire s s e m b la b le s
L e s y s tè m e ré g i p a r x = / ( x ) e s t linéaire si e t s e u le m e n t si, o n l ’a v u p r é c é d e m m e n t,
il e s t d e la f o r m e x = A x , o ù A e s t u n e m a tr ic e n x n .
D e u x s y s tè m e s lin é a ir e s x = Axetÿ = B y de m ê m e d im e n s io n n s o n t semblables
si le s m a tr ic e s A et B s o n t s e m b la b le s , c ’e s t- à - d ir e si e lle s r e p r é s e n te n t le m ê m e
e n d o m o r p h is m e d a n s d e u x b a s e s ( é v e n tu e lle m e n t id e n tiq u e s ) d e
la m a tr ic e d e
c h a n g e m e n t d e b a s e é ta n t P , a v e c P = P “ *A P .
(Rappelons que la relation de sim ilitude « A est sem blable à B »
est une relation d ’équivalence)
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