2.2. Conjugaison des systèmes dynamiques
•a
O c
13
û
y £ >
O
rsl
(5)
O )
‘s_
> -
C L
O
U
membre :
(matrice n x n dont l ’ élément (/, j) est dipildxj).
L a dérivée du 2® membre par rapport au temps est :
d
— (/^[0 i(r, x)] = Vi//
ot
d(J)\
dt
(t, x)
q u i, p o u r t = 0, v a u t Vip [/ i(0 i(O , x))] = Vi//[fi(x)l
É g a la n t le s d e u x , o n a d o n c : f2[ip(x)] = Vif/ [ / i ( x ) ] .
L e le c te u r p o u r r a é ta b lir la r é c ip r o q u e :
- to u t d ’a b o r d e n d é riv a n t l ’h y p o th è s e f 2 [(l/(x)] = Vil/[f\(x)] p a r r a p p o r t a u te m p s ;
- p u is e n v é r if ia n t q u e le s c o n d itio n s d ’u n e c o n ju g a is o n s o n t b ie n r e m p lie s .
P a r c o n s é q u e n t :
5 1 e t 5*2 c o n ju g u é s d e c la s s e 1
V x e Q .\ , /2 [(/^(x)] = Vip [ / i (jc)]
R é s u m o n s le s d e u x c a r a c té r is a tio n s d e la c o n ju g a is o n :
5 1 e t 5 2 c o n ju g u é s d e c la s s e 0 < î= > 0 2 °
^ ^ 4>\
S \ e t 5 2 c o n ju g u é s d e c la s s e 1 < = > / 2 o 0 = V 0 o / j
Remarques
1. La conjugaison ne conserve pas la linéarité, ou peut au contraire l’introduire (ce
qui revient au même en raison de la symétrie de la définition).
On en verra des exemples dans la suite.
2. Le calcul de dérivation de —(A[0l(^ ^)] ci-avant se suffit à lui-même. En voici toutec)t
fois un développement en écriture matricielle. En notant if/k, (j)\k et /u les A:-ièmes
composantes respectives de if/ , 0 i et /1 , la dérivée cherchée a pour /-iéme composante :
—iA/[0i(r, x)] = -------— (r, x) + ... + ------ — (t, x)
ut
OXI ut
ox„ ut
/11 [0 1 (/.•'■ )]
/ l,|[ 0 l( i .- ') ]
Pour t = 0, 01 (r, x) = X. D’où ¿ 0 /(x ) = ^ f \ \ { x ) -h . . . -fot
üXi
aXf,
( d0i
dx\
û
©
di^(x)
On a donc : — — =
dt
dif/„
di//„
^ dx\
dx„
qui est le vecteur (V0 o /,) (x )
dx„ ^ f\ I (x) ^
f\n(x) >
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membre :
(matrice n x n dont l ’ élément (/, j) est dipildxj).
L a dérivée du 2® membre par rapport au temps est :
d
— (/^[0 i(r, x)] = Vi//
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(t, x)
q u i, p o u r t = 0, v a u t Vip [/ i(0 i(O , x))] = Vi//[fi(x)l
É g a la n t le s d e u x , o n a d o n c : f2[ip(x)] = Vif/ [ / i ( x ) ] .
L e le c te u r p o u r r a é ta b lir la r é c ip r o q u e :
- to u t d ’a b o r d e n d é riv a n t l ’h y p o th è s e f 2 [(l/(x)] = Vil/[f\(x)] p a r r a p p o r t a u te m p s ;
- p u is e n v é r if ia n t q u e le s c o n d itio n s d ’u n e c o n ju g a is o n s o n t b ie n r e m p lie s .
P a r c o n s é q u e n t :
5 1 e t 5*2 c o n ju g u é s d e c la s s e 1
V x e Q .\ , /2 [(/^(x)] = Vip [ / i (jc)]
R é s u m o n s le s d e u x c a r a c té r is a tio n s d e la c o n ju g a is o n :
5 1 e t 5 2 c o n ju g u é s d e c la s s e 0 < î= > 0 2 °
^ ^ 4>\
S \ e t 5 2 c o n ju g u é s d e c la s s e 1 < = > / 2 o 0 = V 0 o / j
Remarques
1. La conjugaison ne conserve pas la linéarité, ou peut au contraire l’introduire (ce
qui revient au même en raison de la symétrie de la définition).
On en verra des exemples dans la suite.
2. Le calcul de dérivation de —(A[0l(^ ^)] ci-avant se suffit à lui-même. En voici toutec)t
fois un développement en écriture matricielle. En notant if/k, (j)\k et /u les A:-ièmes
composantes respectives de if/ , 0 i et /1 , la dérivée cherchée a pour /-iéme composante :
—iA/[0i(r, x)] = -------— (r, x) + ... + ------ — (t, x)
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OXI ut
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/11 [0 1 (/.•'■ )]
/ l,|[ 0 l( i .- ') ]
Pour t = 0, 01 (r, x) = X. D’où ¿ 0 /(x ) = ^ f \ \ { x ) -h . . . -fot
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On a donc : — — =
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qui est le vecteur (V0 o /,) (x )
dx„ ^ f\ I (x) ^
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