Chapitre 2 • Flot et conjugaison en temps continu
Soient 5 1 et S'2 deux systèmes dynamiques définis sur les domaines respectifs Î2]
et ÎI2 de W .
(()/
/ d)2 [t. v(x)]
(S ,)
(So)
V(x)
Figure 2 .4 - Schéma de la conjugaison.
■a
O c n
û
« J D
tH
O
CM
(y)
x z
01
> -
Q.
O
U
i// é ta n t u n h o m é o m o r p h is m e ( b ije c tio n b ic o n tin u e ) d e
s u r Î22, e t t u n in s ta n t
a p p a r te n a n t à l ’in te r s e c tio n J{x) d e s p la g e s te m p o r e lle s d e x e t d e
o n d é fin it
a in s i la c o n ju g a is o n :
S 1 e s t conjugué à 52 p a r i!/
Vjc g Î 2i, Vr g J{x), 0 2 < A W ] = 0[0i(^ x)]
E n n o ta tio n a b r é g é e : 0 2 °
° 0 i- C e tte é g a lité d o it ê tr e v é rifié e :
- p o u r to u t X a p p a r te n a n t à Î2i ;
- p o u r to u t t ( u n e fo is x c h o is i) a p p a r te n a n t à J(x), c e q u i im p liq u e q u e le s é ta ts
01 (r, x) e t 02 [i, 0 ( x ) ] s o n t b ie n d é fin is ( e t a p p a r tie n n e n t d o n c r e s p e c tiv e m e n t à H i
e t ^ 2 ) -
O n d it a u s s i q u e 5 1 e t 5 2 s o n t topologiquement c o n ju g u é s p a r 0 .
S i 5 1 e t 5 2 s o n t d é fin is p a r x = f\ (x ) ci x = f2(x), o n d it e n c o r e q u e les champs
/1 et / 2 sont conjugués.
S i 0 e s t u n d if f é o m o r p h is m e d e c la s s e k ( c ’e s t- à - d ir e : 0 e t 0 “ ’ c o n tin û m e n t d iff é
r e n tia b le s ) , o n d it q u e 5 1 e t 5 2 s o n t conjugués de classe k p a r 0 .
Remarques
1. Homéomorphisme et flots commutent au sens suivant : 0 2 ° 0 ^ = °
2. On peut exprimer la conjugaison ainsi, remarquant que le flot traduit la « généalo g ie » d e s é ta t s :
d e s c e n d a n t d u t r a n s f o r m é = tr a n s f o r m é d u d e s c e n d a n t
e t
a s c e n d a n t d u t r a n s f o r m é = tr a n s f o r m é d e l’a s c e n d a n t
Considérons maintenant deux systèmes 5 i et 52 conjugués de classe 1.
Dérivons par rapport au temps les deux membres de la relation de conjugaison
0 2 0 W ] = 0 [0 l(^
en utilisant dcpldtit, x) = / [ 0 ( r , x)] (§ 2 .1 .1 ).
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Soient 5 1 et S'2 deux systèmes dynamiques définis sur les domaines respectifs Î2]
et ÎI2 de W .
(()/
/ d)2 [t. v(x)]
(S ,)
(So)
V(x)
Figure 2 .4 - Schéma de la conjugaison.
■a
O c n
û
« J D
tH
O
CM
(y)
x z
01
> -
Q.
O
U
i// é ta n t u n h o m é o m o r p h is m e ( b ije c tio n b ic o n tin u e ) d e
s u r Î22, e t t u n in s ta n t
a p p a r te n a n t à l ’in te r s e c tio n J{x) d e s p la g e s te m p o r e lle s d e x e t d e
o n d é fin it
a in s i la c o n ju g a is o n :
S 1 e s t conjugué à 52 p a r i!/
Vjc g Î 2i, Vr g J{x), 0 2 < A W ] = 0[0i(^ x)]
E n n o ta tio n a b r é g é e : 0 2 °
° 0 i- C e tte é g a lité d o it ê tr e v é rifié e :
- p o u r to u t X a p p a r te n a n t à Î2i ;
- p o u r to u t t ( u n e fo is x c h o is i) a p p a r te n a n t à J(x), c e q u i im p liq u e q u e le s é ta ts
01 (r, x) e t 02 [i, 0 ( x ) ] s o n t b ie n d é fin is ( e t a p p a r tie n n e n t d o n c r e s p e c tiv e m e n t à H i
e t ^ 2 ) -
O n d it a u s s i q u e 5 1 e t 5 2 s o n t topologiquement c o n ju g u é s p a r 0 .
S i 5 1 e t 5 2 s o n t d é fin is p a r x = f\ (x ) ci x = f2(x), o n d it e n c o r e q u e les champs
/1 et / 2 sont conjugués.
S i 0 e s t u n d if f é o m o r p h is m e d e c la s s e k ( c ’e s t- à - d ir e : 0 e t 0 “ ’ c o n tin û m e n t d iff é
r e n tia b le s ) , o n d it q u e 5 1 e t 5 2 s o n t conjugués de classe k p a r 0 .
Remarques
1. Homéomorphisme et flots commutent au sens suivant : 0 2 ° 0 ^ = °
2. On peut exprimer la conjugaison ainsi, remarquant que le flot traduit la « généalo g ie » d e s é ta t s :
d e s c e n d a n t d u t r a n s f o r m é = tr a n s f o r m é d u d e s c e n d a n t
e t
a s c e n d a n t d u t r a n s f o r m é = tr a n s f o r m é d e l’a s c e n d a n t
Considérons maintenant deux systèmes 5 i et 52 conjugués de classe 1.
Dérivons par rapport au temps les deux membres de la relation de conjugaison
0 2 0 W ] = 0 [0 l(^
en utilisant dcpldtit, x) = / [ 0 ( r , x)] (§ 2 .1 .1 ).
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