2.2. Conjugaison des systèmes dynamiques
L e flo t e s t e x p lic ite : il m e t e n j e u u n e exp on en tielle de m atrice :
x{t) =
d ’o ù 0 ( /, x) = e^^x
C e c i e x p liq u e le r ô le c e n tr a l d e la m a tr ic e A d a n s l ’é tu d e à v e n ir d e la stabilité d e s
s y s tè m e s lin é a ir e s .
Trois rappels : c o m m e d é s o r m a is n o u s r e n c o n tr e r o n s s o u v e n t d e s e x p o n e n tie lle s
d e m a tr ic e s , il e s t u tile d e r a p p e le r tro is r é s u lta ts :
• l ’e x p o n e n tie lle d ’u n e m a tr ic e r é e lle o u c o m p le x e s ’o b tie n t c o m m e s o m m e d e la
m ê m e s é rie f o r m e lle q u e p o u r u n s c a la ir e , e t c o n v e rg e to u jo u r s .
•
e s t f a u x e n g é n é ra l, m a is v ra i si A e t 5 c o m m u te n t. V o ir l ’e x e rc ic e
2.1.
dt
— A
A
TJ
O
c
rj
û
Ю
tH
O
Г М
X I
O J
> -
Q.
O
U
E x e r c ic e 2 .1 Exponentielle de m a trice
O n c o n s id è r e le s m a tr ic e s A =
e t 5 = | ^
V é r if ie r q u e
e^ .e^ et
s o n t tro is m a tr ic e s d is tin c te s .
R e v is ito n s d a n s le c a s d ’u n s y s tè m e linéaire le s tro is r e m a r q u e s e t r é s u lta ts d u
p a r a g r a p h e 2 .1 .1 :
1. t a p p a r tie n t à R (o n p e u t c h o is ir t a u s s i lo in q u e l ’o n d é s ir e d a n s le p a s s é o u
l ’a v e n ir) o u à R + si o n s ’in té r e s s e s e u le m e n t à l ’a v e n ir, e t jc G W\
.
2. L é q u a tio n — (/, x) = f[ф(t, x)] se v é rifie a is é m e n t :
dt
1
m e m b r e = A
x
2® m e m b r e = A ф(г, x) = A e^^x
f
3 . L a tr a n s itiv ité ф(s + t, x) = ф[1, ф{5, x )] se v é rifie f a c ile m e n t a u s si :
1
m e m b r e =
x
I
2® m e m b r e =
ф{з, x ) =
x —
S
c
j 2 . 2
C o n j u g a i s o n d e s s y s t è m e s d y n a m i q u e s
0
1 2.2.1 G é n é r a lité s s u r la c o n ju g a is o n
Ü
a N o u s r a p p e lo n s q u ’e n l ’a b s e n c e d ’h y p o th è s e s c o n tr a ir e s e x p lic ite s , o n s u p p o s e lo c a -
I le m e n t lip s c h itz ie n s le s s y s tè m e s c o n s id é r é s . C e tte h y p o th è s e a s s u r e l ’e x is te n c e d e s
a flo ts.
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L e flo t e s t e x p lic ite : il m e t e n j e u u n e exp on en tielle de m atrice :
x{t) =
d ’o ù 0 ( /, x) = e^^x
C e c i e x p liq u e le r ô le c e n tr a l d e la m a tr ic e A d a n s l ’é tu d e à v e n ir d e la stabilité d e s
s y s tè m e s lin é a ir e s .
Trois rappels : c o m m e d é s o r m a is n o u s r e n c o n tr e r o n s s o u v e n t d e s e x p o n e n tie lle s
d e m a tr ic e s , il e s t u tile d e r a p p e le r tro is r é s u lta ts :
• l ’e x p o n e n tie lle d ’u n e m a tr ic e r é e lle o u c o m p le x e s ’o b tie n t c o m m e s o m m e d e la
m ê m e s é rie f o r m e lle q u e p o u r u n s c a la ir e , e t c o n v e rg e to u jo u r s .
•
e s t f a u x e n g é n é ra l, m a is v ra i si A e t 5 c o m m u te n t. V o ir l ’e x e rc ic e
2.1.
dt
— A
A
TJ
O
c
rj
û
Ю
tH
O
Г М
X I
O J
> -
Q.
O
U
E x e r c ic e 2 .1 Exponentielle de m a trice
O n c o n s id è r e le s m a tr ic e s A =
e t 5 = | ^
V é r if ie r q u e
e^ .e^ et
s o n t tro is m a tr ic e s d is tin c te s .
R e v is ito n s d a n s le c a s d ’u n s y s tè m e linéaire le s tro is r e m a r q u e s e t r é s u lta ts d u
p a r a g r a p h e 2 .1 .1 :
1. t a p p a r tie n t à R (o n p e u t c h o is ir t a u s s i lo in q u e l ’o n d é s ir e d a n s le p a s s é o u
l ’a v e n ir) o u à R + si o n s ’in té r e s s e s e u le m e n t à l ’a v e n ir, e t jc G W\
.
2. L é q u a tio n — (/, x) = f[ф(t, x)] se v é rifie a is é m e n t :
dt
1
m e m b r e = A
x
2® m e m b r e = A ф(г, x) = A e^^x
f
3 . L a tr a n s itiv ité ф(s + t, x) = ф[1, ф{5, x )] se v é rifie f a c ile m e n t a u s si :
1
m e m b r e =
x
I
2® m e m b r e =
ф{з, x ) =
x —
S
c
j 2 . 2
C o n j u g a i s o n d e s s y s t è m e s d y n a m i q u e s
0
1 2.2.1 G é n é r a lité s s u r la c o n ju g a is o n
Ü
a N o u s r a p p e lo n s q u ’e n l ’a b s e n c e d ’h y p o th è s e s c o n tr a ir e s e x p lic ite s , o n s u p p o s e lo c a -
I le m e n t lip s c h itz ie n s le s s y s tè m e s c o n s id é r é s . C e tte h y p o th è s e a s s u r e l ’e x is te n c e d e s
a flo ts.
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