Chapitre 2 • Flot et conjugaison en temps continu
Remarques
1.
T J
O
c
rj
Q
U D
tH
O
(N
X I
O J
>•
Q .
O
U
Si / est de classe C' et si ||V/|| (norme euclidienne de l’endomorphisme Vf) est
bornée sur Q par À, alors / est lipschitzienne de rapport À sur Q. et l’inégalité
ç’:3nnlini IP
2. On peut remarquer que pour f(x) ^ Àx e R", avec /t > 0 , on a l’expression explicite
du flot : 0 (r, xo) = xo Alors,
xo) - fit, i/o) = (xq - yo)e'^\ d’où \\4>(t, xq) - fit, yo)\\ =
Iko -i/olk*' : l’inégalité de Gronwall devient une égalité.
3. Dans l’exemple x = 1 + x^ étudié au paragraphe 1.2.1, / est localement lipschitzienne sur Q = R, mais n’y est pas lipschitzienne. Aussi, a-t-on dans ce cas explosion de la solution à un horizon temporel fini : il n’y a pas de majoration exponentielle de W fit, xo)-f(t, yo)\\ et l’inégalité de Gronwall ne s’applique pas. Elle
s’applique en revanche si on choisit pour Q. un intervalle ouvert borné de R.
4. Le mathématicien suédois Gronwall a démontré en 1919 un lemme généralisant la
présente inégalité. Lui-même orthographiait son nom sans tréma dans ses publications, usage que nous respectons dans ce livre.
Connexité des orbites
N o ta tio n s : p o u r to u t p o in t x d e Q , o n n o te r a Orb{x) l ’o r b ite d e j :, c ’e s t- à - d ir e l ’e n
s e m b le
x) \ t £ /(J i)} , c ’e s t- à - d ir e e n c o r e la r é u n io n d e s a s c e n d a n ts e t d e s d e s
c e n d a n ts d e X.
L a p la g e te m p o r e lle J{x) d e x e s t u n in te r v a lle d e R e t e s t d o n c c o n n e x e . Orb{x)
e s t l ’im a g e d u c o n n e x e J{x) p a r le flo t, q u i e s t c o n tin u . D o n c Orb(x) e s t c o n n e x e . O n
n o te r a d o n c q u e toute orbite est co n n exe.
Com pacité des segm ents d ’orbite
O n n o te r a Orb~(x) e t Orb^{x) r e s p e c tiv e m e n t le s p a r tie s p a s s é e (le s a s c e n d a n ts d e x)
e t f u tu r e (le s d e s c e n d a n ts d e x) d e l ’o r b ite , s o it : Orb~{x) =
x) ; t e J(x) n R _}
e t Orb^(x) = {(fit, x) \ t e J{x) n R +}. A in s i, Orb~{x) n Orb^{x) c o n tie n t a u m o in s
le p o in t 0 ( 0 , x) = X
O n a p p e lle r a segment d’orbite l ’e n s e m b le d e s p o in ts d e Orb(x) c o r r e s p o n d a n t à
t e [a, b], où a Qt b s o n t d e u x é lé m e n ts d e J(x). C o m m e [a, b] e s t c o m p a c t e t c o m m e
le flo t e s t c o n tin u , u n s e g m e n t d ’o r b ite , im a g e c o n tin u e d ’u n c o m p a c t, e s t c o m p a c t.
O n r e tie n d r a q u e tout segm en t orbite est com pact.
S i la tr a je c to ir e t i-> x{t) e s t T - p é r io d iq u e (o n d ir a a lo rs a u s s i q u e s o n o r b ite e s t
p é r io d iq u e ) , Orb(x) e s t l ’im a g e c o n tin u e d e [ 0 , T] e t e s t d o n c c o m p a c t : toute orbite
p ériod iqu e est com pacte.
2.1.3 Flot d ’un s y s tè m e lin é a ire
L o r s q u e le c h a m p d e v e c te u rs fix ) d é p e n d lin é a ir e m e n t d e l ’é ta t x, il d é fin it u n système dynamique linéaire. L e c a ra c tè r e lin é a ir e d u s y s tè m e s e tr a d u it p a r fix ) = A x,
A é ta n t la m a tr ic e d u s y s tè m e lin é a ir e .
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Remarques
1.
T J
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Q
U D
tH
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X I
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>•
Q .
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Si / est de classe C' et si ||V/|| (norme euclidienne de l’endomorphisme Vf) est
bornée sur Q par À, alors / est lipschitzienne de rapport À sur Q. et l’inégalité
ç’:3nnlini IP
2. On peut remarquer que pour f(x) ^ Àx e R", avec /t > 0 , on a l’expression explicite
du flot : 0 (r, xo) = xo Alors,
xo) - fit, i/o) = (xq - yo)e'^\ d’où \\4>(t, xq) - fit, yo)\\ =
Iko -i/olk*' : l’inégalité de Gronwall devient une égalité.
3. Dans l’exemple x = 1 + x^ étudié au paragraphe 1.2.1, / est localement lipschitzienne sur Q = R, mais n’y est pas lipschitzienne. Aussi, a-t-on dans ce cas explosion de la solution à un horizon temporel fini : il n’y a pas de majoration exponentielle de W fit, xo)-f(t, yo)\\ et l’inégalité de Gronwall ne s’applique pas. Elle
s’applique en revanche si on choisit pour Q. un intervalle ouvert borné de R.
4. Le mathématicien suédois Gronwall a démontré en 1919 un lemme généralisant la
présente inégalité. Lui-même orthographiait son nom sans tréma dans ses publications, usage que nous respectons dans ce livre.
Connexité des orbites
N o ta tio n s : p o u r to u t p o in t x d e Q , o n n o te r a Orb{x) l ’o r b ite d e j :, c ’e s t- à - d ir e l ’e n
s e m b le
x) \ t £ /(J i)} , c ’e s t- à - d ir e e n c o r e la r é u n io n d e s a s c e n d a n ts e t d e s d e s
c e n d a n ts d e X.
L a p la g e te m p o r e lle J{x) d e x e s t u n in te r v a lle d e R e t e s t d o n c c o n n e x e . Orb{x)
e s t l ’im a g e d u c o n n e x e J{x) p a r le flo t, q u i e s t c o n tin u . D o n c Orb(x) e s t c o n n e x e . O n
n o te r a d o n c q u e toute orbite est co n n exe.
Com pacité des segm ents d ’orbite
O n n o te r a Orb~(x) e t Orb^{x) r e s p e c tiv e m e n t le s p a r tie s p a s s é e (le s a s c e n d a n ts d e x)
e t f u tu r e (le s d e s c e n d a n ts d e x) d e l ’o r b ite , s o it : Orb~{x) =
x) ; t e J(x) n R _}
e t Orb^(x) = {(fit, x) \ t e J{x) n R +}. A in s i, Orb~{x) n Orb^{x) c o n tie n t a u m o in s
le p o in t 0 ( 0 , x) = X
O n a p p e lle r a segment d’orbite l ’e n s e m b le d e s p o in ts d e Orb(x) c o r r e s p o n d a n t à
t e [a, b], où a Qt b s o n t d e u x é lé m e n ts d e J(x). C o m m e [a, b] e s t c o m p a c t e t c o m m e
le flo t e s t c o n tin u , u n s e g m e n t d ’o r b ite , im a g e c o n tin u e d ’u n c o m p a c t, e s t c o m p a c t.
O n r e tie n d r a q u e tout segm en t orbite est com pact.
S i la tr a je c to ir e t i-> x{t) e s t T - p é r io d iq u e (o n d ir a a lo rs a u s s i q u e s o n o r b ite e s t
p é r io d iq u e ) , Orb(x) e s t l ’im a g e c o n tin u e d e [ 0 , T] e t e s t d o n c c o m p a c t : toute orbite
p ériod iqu e est com pacte.
2.1.3 Flot d ’un s y s tè m e lin é a ire
L o r s q u e le c h a m p d e v e c te u rs fix ) d é p e n d lin é a ir e m e n t d e l ’é ta t x, il d é fin it u n système dynamique linéaire. L e c a ra c tè r e lin é a ir e d u s y s tè m e s e tr a d u it p a r fix ) = A x,
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