2.1. Flot d’un système dynamique
S i / e s t lip s c h itz ie n n e s u r Î 2, c e r é s u lta t se p r é c is e p a r u n e in é g a lité q u i m o n tr e le
c a r a c tè r e a u p lu s e x p o n e n tie l d e la d iv e r g e n c e d e d e u x tr a je c to ir e s a u c o u rs d u te m p s .
Inégalité de Gronwall
S i / e s t lip s c h itz ie n n e d e r a p p o r t À s u r le d o m a in e i l d e R " , a lo rs p o u r to u s jcq ^ ^
e t ijQ G Î2, o n a e n to u t in s ta n t r > 0 : \\(p(t, x q ) -
^o)ll ^ Iko ~ ^oll
•
D a n s l ’in é g a lité , il e s t n é c e s s a ir e q u e
.xo) e t 0 ( r , ijq) a ie n t u n se n s. D o n c , « e n
to u t in s ta n t > 0 » s ig n ifie
e J = J{xo) Pi J(yo) n R + .
P o u r m o n tr e r l ’in é g a lité d e G r o n w a ll, r a p p e lo n s q u e p o u r to u te f o n c tio n v e c to r ie lle
d é riv a b le , la d é riv é e d u m o d u le e s t m a jo r é e p a r le m o d u le d e la d é riv é e . A p p liq u o n s
c e tte r e m a r q u e à la f o n c tio n r G 7 i-> l { t ) = (p{t, .^o) ~
q u i r e p r é s e n te l ’é lo ig n e m e n t à l ’in s ta n t t d e s tr a je c to ir e s is s u e s r e s p e c tiv e m e n t d e jcq e t yo. Il v ie n t :
411^(0 11 <
dt
Xq) - — {t, i/o)
o t
at
== \\f[4>(t< -ïo)] - /[0 (i, i/o)]ll
< À\\(p(t, xo) -
i/o)ll c a r / e s t /l- lip s c h itz ie n n e
■ O
O
c
rj
Q
y£ )
O
rsl
‘s_
> .
C L
O
U
D ’o ù 4 ||/(/)|| - ^ ||/ ( r ) || < 0 . A p r è s m u ltip lic a tio n d e s d e u x m e m b r e s p a r e
dt
d ..........
.......
_ .
. ..
i/
o n
11/(011 < 0.
û
@
o b tie n t e
— l|/(0ll - À e "^^||/(0ll ^ 0 , c ’e s t- à - d ir e — .
dt
dt
L a f o n c tio n 1 1-^
é ta n t d o n c d é c r o is s a n te , o n a
< é'®||/(0 )||, d ’o ù
l|/(O II < 11/(0)11 ^^'0 C o m m e /(0 ) = ||xo - ^olL o u r e c o n n a ît d a n s c e d e r n ie r r é s u lta t
l ’in é g a lité d e G r o n w a ll. C .Q .F .D .
• à t fix é : (x o , ^ o ) ^ I0(L -^o) ~ 0 ( L 7o)l ^ G ||x o - iyoll- H y a d o n c c o n tin u ité
s p a tia le d u flo t p a r r a p p o r t a u x c o n d itio n s in itia le s : si jco ot yo s o n t p r o c h e s , le u rs
im a g e s jc( 0 = (l>(xo, t) e t y{t) = (p{yo, 0 lo s o n t a u s s i. L ’a p p lic a tio n e s t m ê m e
lip s c h itz ie n n e d e r a p p o r t C , m a is c e c i à t fix é . L a c o n s ta n te d e L ip s c h itz C =
c r o ît e x p o n e n tie lle m e n t a v e c le te m p s . O n a m a lg r é to u t u n e m a jo r a tio n d e la
s e n s ib ilité d ’u n e tr a je c to ir e a u x c o n d itio n s in itia le s .
• à xo fix é : o n s a it d e p u is le p a r a g r a p h e 2 .1 .1 q u e t i-> x(t) = cp(t, xq) G O a p o u r
dij)
d é riv é e — = / o 0 e t e s t d o n c lo c a le m e n t lip s c h itz ie n n e , a fortiori c o n tin u e . O n
dt
s e r e p o r te r a a u s s i à l ’a lin é a « c o m p a c ité d e s s e g m e n ts d ’o r b ite » p la c é a p rè s le s
r e m a rq u e s .
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S i / e s t lip s c h itz ie n n e s u r Î 2, c e r é s u lta t se p r é c is e p a r u n e in é g a lité q u i m o n tr e le
c a r a c tè r e a u p lu s e x p o n e n tie l d e la d iv e r g e n c e d e d e u x tr a je c to ir e s a u c o u rs d u te m p s .
Inégalité de Gronwall
S i / e s t lip s c h itz ie n n e d e r a p p o r t À s u r le d o m a in e i l d e R " , a lo rs p o u r to u s jcq ^ ^
e t ijQ G Î2, o n a e n to u t in s ta n t r > 0 : \\(p(t, x q ) -
^o)ll ^ Iko ~ ^oll
•
D a n s l ’in é g a lité , il e s t n é c e s s a ir e q u e
.xo) e t 0 ( r , ijq) a ie n t u n se n s. D o n c , « e n
to u t in s ta n t > 0 » s ig n ifie
e J = J{xo) Pi J(yo) n R + .
P o u r m o n tr e r l ’in é g a lité d e G r o n w a ll, r a p p e lo n s q u e p o u r to u te f o n c tio n v e c to r ie lle
d é riv a b le , la d é riv é e d u m o d u le e s t m a jo r é e p a r le m o d u le d e la d é riv é e . A p p liq u o n s
c e tte r e m a r q u e à la f o n c tio n r G 7 i-> l { t ) = (p{t, .^o) ~
q u i r e p r é s e n te l ’é lo ig n e m e n t à l ’in s ta n t t d e s tr a je c to ir e s is s u e s r e s p e c tiv e m e n t d e jcq e t yo. Il v ie n t :
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l ’in é g a lité d e G r o n w a ll. C .Q .F .D .
• à t fix é : (x o , ^ o ) ^ I0(L -^o) ~ 0 ( L 7o)l ^ G ||x o - iyoll- H y a d o n c c o n tin u ité
s p a tia le d u flo t p a r r a p p o r t a u x c o n d itio n s in itia le s : si jco ot yo s o n t p r o c h e s , le u rs
im a g e s jc( 0 = (l>(xo, t) e t y{t) = (p{yo, 0 lo s o n t a u s s i. L ’a p p lic a tio n e s t m ê m e
lip s c h itz ie n n e d e r a p p o r t C , m a is c e c i à t fix é . L a c o n s ta n te d e L ip s c h itz C =
c r o ît e x p o n e n tie lle m e n t a v e c le te m p s . O n a m a lg r é to u t u n e m a jo r a tio n d e la
s e n s ib ilité d ’u n e tr a je c to ir e a u x c o n d itio n s in itia le s .
• à xo fix é : o n s a it d e p u is le p a r a g r a p h e 2 .1 .1 q u e t i-> x(t) = cp(t, xq) G O a p o u r
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r e m a rq u e s .
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