Chapitre 2 • Flot et conjugaison en temps continu
En pratique, J(x) est le plus grand intervalle permettant à 0 (r, x) :
• soit de rester dans
soit tout simplement d’être défini.
Dans tous les cas, on veillera à l’appartenance de (r, x) à son domaine de définition,
qui est souvent RxR" (temps illimité dans le passé et le futur), R+xR" (temps illimité
dans le futur), ou R+ x (temps illimité dans le futur et x confiné à un domaine
de R").
2. La notation x(t) sous-entend 4 0 ) = jc q . C’est donc un raccourci pour désigner
, .
. d
(p{t, xo) ; X = f{x) s écrit donc aussi : — [x(r, xq)] = /[ x ( r , xo)]
dt'
d(p
U,xo)
< {> U ,xq)
En d’autres termes, — (/, xo) = f[0(t, xo)],
dt
En notation abrégée :
d(j)
~dt
3. La stationnarité du système se traduit par la transitivité du flot.
Un simple examen du schéma conduit à l’expression de la transitivité :
T J
O
c
rj
Û
» X J
tH
O
fN
©
S I
ai
>•
C L
O
U
(¡){s + t, x) =
(p{s, x)]
A tte n tio n : selon le con texte, la notation x re p ré se n te ra soit un état, soit une
fonction du tem ps.
4. On appellera ascendant de x tout point (p(t, x) de n correspondant à r < 0 , et
descendant de x tout point < ^ (r, x) de Q correspondant à r > 0 .
2.1.2 C o n tin u ité du flot
L a r é g u la r ité d u flo t d u s y s tè m e x = f ( x ) d é fin i s u r le d o m a in e Î 2 c
e s t lié e à
la r é g u la r ité d e / . O n tr o u v e r a la d é m o n s tr a tio n d u p r e m ie r r é s u lta t c i- a p rè s d a n s le s
o u v r a g e s c o n s a c r é s a u x é q u a tio n s d iff é re n tie lle s .
Caractère localement lipschitzien du flot
S i / e s t lo c a le m e n t lip s c h itz ie n n e s u r l ’o u v e r t O c R ” , a lo r s :
• le d o m a in e d e d é fin itio n d u flo t (j) d u s y s tè m e x = f { x ) e s t u n o u v e r t D d e
R X O ;
• l ’a p p lic a tio n (i, x) e
x) e Q. e s t lo c a le m e n t lip s c h itz ie n n e ;
• si d e p lu s / e s t d e c la s s e
le flo t cf) e s t lu i- m ê m e d e c la s s e C ^.
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