F l o t
ET CONJUGAISON
EN TEMPS CONTINU
2
■ O
O c D
Q
D
tH
O
CM
(y)
x:
C T
>•
C L
O
U
2 . 1
F l o t d ’ u n s y s t è m e d y n a m i q u e
L e flot d ’u n s y s tè m e d y n a m iq u e e s t l ’a p p lic a tio n q u i à u n é ta t in itia l jcq fa it c o r r e s
p o n d r e l ’é ta t a tte in t à T in ta n t t, o ù t p e u t ê tre p o s it i f o u n é g a tif. C e tte n o tio n , q u i
v a ê tr e p r é c is é e c i- a p r è s , p r iv ilé g ie d o n c le p o in t d e v u e « é v o lu tio n à p a r tir d ’u n e
c o n d itio n in itia le ». N o to n s q u e la s im p le e x p r e s s io n « l ’é ta t à l ’in s ta n t t » s u p p o s e
q u e c e t é ta t e s t b ie n d é fin i. L e th é o r è m e d e C a u c h y l ’a ffirm e m o y e n n a n t l ’h y p o th è s e
q u e le s y s tè m e e s t lo c a le m e n t lip s c h itz ie n , h y p o th è s e q u e n a tu r e lle m e n t n o u s fa is o n s
ici.
2.1.1 D éfin itio n du flot d ’un c h a m p de v e c te u rs
O n n o te
jco) l’état à l’instant t du système d’état initial xq
X (t) = (t)(f, Xq)
. y
t
Figure 2.1- Représentation du flot.
(/)(t, xq) e s t d o n c l ’a p p lic a tio n q u i à to u t é ta t in itia l xq f a it c o r r e s p o n d r e so n d e
v e n ir o u so n p a s s é à l ’in s ta n t t. L a f a m ille d ’a p p lic a tio n s (t, jc) i-> 0 ( L .r) p a rf o is
n o té e {0 t)tER e s t le flot d u s y s tè m e . C o m m e le s y s tè m e e s t a u to n o m e , c ’e s t- à - d ir e
s ta tio n n a ire , le s c h é m a s u iv a n t é q u iv a u t a u p r é c é d e n t p o u r to u t .y r é e l :
Xq = X ( s )
û
©
Figure 2.2- Illustration de la stationnarité.
Remarques et résultats
1. 0(r, x) n’a de sens que pour t e J{x), ce qui implique l’appartenance du couple {t, x)
à un domaine spatio-temporel D de R xQ . On a vu par exemple au paragraphe 1.2.1
que pour le système x = \ + x^, \a plage temporelle J{x) est bornée inférieurement
(naissance implosive) et supérieurement (mort explosive).
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(y)
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F l o t d ’ u n s y s t è m e d y n a m i q u e
L e flot d ’u n s y s tè m e d y n a m iq u e e s t l ’a p p lic a tio n q u i à u n é ta t in itia l jcq fa it c o r r e s
p o n d r e l ’é ta t a tte in t à T in ta n t t, o ù t p e u t ê tre p o s it i f o u n é g a tif. C e tte n o tio n , q u i
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c o n d itio n in itia le ». N o to n s q u e la s im p le e x p r e s s io n « l ’é ta t à l ’in s ta n t t » s u p p o s e
q u e c e t é ta t e s t b ie n d é fin i. L e th é o r è m e d e C a u c h y l ’a ffirm e m o y e n n a n t l ’h y p o th è s e
q u e le s y s tè m e e s t lo c a le m e n t lip s c h itz ie n , h y p o th è s e q u e n a tu r e lle m e n t n o u s fa is o n s
ici.
2.1.1 D éfin itio n du flot d ’un c h a m p de v e c te u rs
O n n o te
jco) l’état à l’instant t du système d’état initial xq
X (t) = (t)(f, Xq)
. y
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Figure 2.1- Représentation du flot.
(/)(t, xq) e s t d o n c l ’a p p lic a tio n q u i à to u t é ta t in itia l xq f a it c o r r e s p o n d r e so n d e
v e n ir o u so n p a s s é à l ’in s ta n t t. L a f a m ille d ’a p p lic a tio n s (t, jc) i-> 0 ( L .r) p a rf o is
n o té e {0 t)tER e s t le flot d u s y s tè m e . C o m m e le s y s tè m e e s t a u to n o m e , c ’e s t- à - d ir e
s ta tio n n a ire , le s c h é m a s u iv a n t é q u iv a u t a u p r é c é d e n t p o u r to u t .y r é e l :
Xq = X ( s )
û
©
Figure 2.2- Illustration de la stationnarité.
Remarques et résultats
1. 0(r, x) n’a de sens que pour t e J{x), ce qui implique l’appartenance du couple {t, x)
à un domaine spatio-temporel D de R xQ . On a vu par exemple au paragraphe 1.2.1
que pour le système x = \ + x^, \a plage temporelle J{x) est bornée inférieurement
(naissance implosive) et supérieurement (mort explosive).
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