Chapitre 1 • Généralités sur les systèmes différentiels
■ O
O c n
Q
k O
tH
O
(N
x:
gi
> -
Q .
O
U
• Deuxième cas : antisymétrie du flot : V x g
/ ( ^ =
Il y a a lo r s « a n d
c o n ju g a is o n » d e s tr a je c to ir e s p a r s y m é trie , a u s e n s s u iv a n t : (pÇx, t) = (f)(x, - t ) p o u r t
e t - t a p p a r te n a n t à la p la g e te m p o r e lle d e x ( fig u re 1.7 b ). L e s d e s c e n d a n ts d u s y m é
triq u e s o n t le s s y m é tr iq u e s d e s a s c e n d a n ts e t r é c ip r o q u e m e n t.
O n p e u t a u s s i d ire q u e , si (p r e p r é s e n te le flo t d u système miroir (/(x) = -f{x)),
o n a s y m é trie d e s flo ts : cpÇx, t) = 0(;c, - t ) = (p{x, t)
E x e m p le s
1. f(x) = W pour il = R : il y a antisymétrie du flot entre R+ et R_ pour A = {()}.
2. dans le cas de l’oscillateur harmonique (Q = R^), il y a antisymétrie du flot pour
toute orbite circulaire dans la symétrie par rapport à toute droite A passant par
l’origine.
• Troisième cas : autres situations : il p e u t n a tu r e lle m e n t y a v o ir s y m é trie o r b ita le
s a n s c o n ju g a is o n ni a n tic o n ju g a is o n d u flo t.
E x e m p le
Soit X = jc+ x ^ Ir^(jc) (o ù j c c R ) ; r ; et RI sont des orbites symétriques par rapport au
point A = 0. Mais la conjugaison de trajectoire, qui existe, n’est pas une symétrie :
en raison du terme en jc^ , le mouvement centrifuge est plus accentué sur R+, où il
y a mort explosive (voir le problème 1.1) contrairement à ce qui se passe sur R_.
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O c n
Q
k O
tH
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x:
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Q .
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• Deuxième cas : antisymétrie du flot : V x g
/ ( ^ =
Il y a a lo r s « a n d
c o n ju g a is o n » d e s tr a je c to ir e s p a r s y m é trie , a u s e n s s u iv a n t : (pÇx, t) = (f)(x, - t ) p o u r t
e t - t a p p a r te n a n t à la p la g e te m p o r e lle d e x ( fig u re 1.7 b ). L e s d e s c e n d a n ts d u s y m é
triq u e s o n t le s s y m é tr iq u e s d e s a s c e n d a n ts e t r é c ip r o q u e m e n t.
O n p e u t a u s s i d ire q u e , si (p r e p r é s e n te le flo t d u système miroir (/(x) = -f{x)),
o n a s y m é trie d e s flo ts : cpÇx, t) = 0(;c, - t ) = (p{x, t)
E x e m p le s
1. f(x) = W pour il = R : il y a antisymétrie du flot entre R+ et R_ pour A = {()}.
2. dans le cas de l’oscillateur harmonique (Q = R^), il y a antisymétrie du flot pour
toute orbite circulaire dans la symétrie par rapport à toute droite A passant par
l’origine.
• Troisième cas : autres situations : il p e u t n a tu r e lle m e n t y a v o ir s y m é trie o r b ita le
s a n s c o n ju g a is o n ni a n tic o n ju g a is o n d u flo t.
E x e m p le
Soit X = jc+ x ^ Ir^(jc) (o ù j c c R ) ; r ; et RI sont des orbites symétriques par rapport au
point A = 0. Mais la conjugaison de trajectoire, qui existe, n’est pas une symétrie :
en raison du terme en jc^ , le mouvement centrifuge est plus accentué sur R+, où il
y a mort explosive (voir le problème 1.1) contrairement à ce qui se passe sur R_.
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