1.3. Symétries orbitales
A p p e lo n s A u n s o u s - e s p a c e a ffin e d e W \ d o n t la d im e n s io n e s t c o m p r is e e n tr e 0 (A
e s t a lo rs u n p o in t) e t « - 1 (A e s t a lo rs u n h y p e r p la n ) , e t d é s ig n o n s p a r iTle s y m é tr iq u e
d e a p a r r a p p o r t à A . N o u s a d o p to n s c e tte c o n v e n tio n , q u e a s o it u n p o in t, u n e p a rtie
d e n o u u n v e c te u r d e R '^
a) flot symétrique
Figure 1 .7 - Symétries orbitales.
b) flot antisymétrique.
■a
O c n
û
« J D
tH
O
rs]
ai
v _
> -
Q.
O
U
S u p p o s o n s q u e i l s o it s y m é tr iq u e p a r r a p p o r t à A ( c ’e s t- à - d ir e i l = i l ) e t q u e
l ’e n s e m b le d e s é lé m e n ts d e c o n ta c t (le s d ir e c tio n s d e f{x)) d e s o r b ite s s o it s y m é tr iq u e
p a r r a p p o r t à A , e n d ’a u tr e s te r m e s q u e f ( ^ || f(x ) ; n o u s é c a r to n s , a u p rix d ’u n e
é v e n tu e lle r e s tr ic tio n d e i l , le c a s d e s é q u ilib r e s . A lo r s , p o u r to u t .v d a n s i l , Vorbite
du sym étrique est le sym étrique de Vorbite : OrhÇx) = Orb(x).
O n d ir a q u ’il y a symétrie orbitale. L e s s y m é trie s o r b ita le s p e u v e n t ê tr e c la s s é e s
s e lo n tro is c a s :
• Premier cas : symétrie du flot : V x g i l , / ( ^ = f(x). Il y a a lo r s c o n ju g a is o n d e s
tr a je c to ir e s p a r s y m é trie , a u s e n s s u iv a n t : (p(x, t) = cp(x, t) p o u r to u t t a p p a r te n a n t
à la p la g e te m p o r e lle d e x ( fig u re 1.7 a ). L e s d e s c e n d a n ts d u s y m é triq u e s o n t le s s y
m é tr iq u e s d e s d e s c e n d a n ts . O n a la m ê m e a s s e r tio n p o u r le s a s c e n d a n ts (le s n o tio n s
d e d e s c e n d a n t e t d ’a s c e n d a n t, d o n t le s e n s i n tu i ti f n o u s su ffit ic i, s e ro n t d é fin ie s p lu s
ta rd ).
E x e m p le
Si A = 0 e R.”, on a
-x. Donc, pour tout système linéaire, f(x) = f(-x) = -f{x) =
f(x) : tout système linéaire présente donc une symétrie orbitale par rapport à
l’ origine, avec symétrie du flot.
Q
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A p p e lo n s A u n s o u s - e s p a c e a ffin e d e W \ d o n t la d im e n s io n e s t c o m p r is e e n tr e 0 (A
e s t a lo rs u n p o in t) e t « - 1 (A e s t a lo rs u n h y p e r p la n ) , e t d é s ig n o n s p a r iTle s y m é tr iq u e
d e a p a r r a p p o r t à A . N o u s a d o p to n s c e tte c o n v e n tio n , q u e a s o it u n p o in t, u n e p a rtie
d e n o u u n v e c te u r d e R '^
a) flot symétrique
Figure 1 .7 - Symétries orbitales.
b) flot antisymétrique.
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l ’e n s e m b le d e s é lé m e n ts d e c o n ta c t (le s d ir e c tio n s d e f{x)) d e s o r b ite s s o it s y m é tr iq u e
p a r r a p p o r t à A , e n d ’a u tr e s te r m e s q u e f ( ^ || f(x ) ; n o u s é c a r to n s , a u p rix d ’u n e
é v e n tu e lle r e s tr ic tio n d e i l , le c a s d e s é q u ilib r e s . A lo r s , p o u r to u t .v d a n s i l , Vorbite
du sym étrique est le sym étrique de Vorbite : OrhÇx) = Orb(x).
O n d ir a q u ’il y a symétrie orbitale. L e s s y m é trie s o r b ita le s p e u v e n t ê tr e c la s s é e s
s e lo n tro is c a s :
• Premier cas : symétrie du flot : V x g i l , / ( ^ = f(x). Il y a a lo r s c o n ju g a is o n d e s
tr a je c to ir e s p a r s y m é trie , a u s e n s s u iv a n t : (p(x, t) = cp(x, t) p o u r to u t t a p p a r te n a n t
à la p la g e te m p o r e lle d e x ( fig u re 1.7 a ). L e s d e s c e n d a n ts d u s y m é triq u e s o n t le s s y
m é tr iq u e s d e s d e s c e n d a n ts . O n a la m ê m e a s s e r tio n p o u r le s a s c e n d a n ts (le s n o tio n s
d e d e s c e n d a n t e t d ’a s c e n d a n t, d o n t le s e n s i n tu i ti f n o u s su ffit ic i, s e ro n t d é fin ie s p lu s
ta rd ).
E x e m p le
Si A = 0 e R.”, on a
-x. Donc, pour tout système linéaire, f(x) = f(-x) = -f{x) =
f(x) : tout système linéaire présente donc une symétrie orbitale par rapport à
l’ origine, avec symétrie du flot.
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