Chapitre 1 • Généralités sur les systèmes différentiels
■ D
O
C
13
Q
Ю
tH
O
Г М
X I
oi
>•
CL
O
U
C e c e rc le , s o u m is à la lia is o n in d iq u é e , e s t à l ’in s ta n t in itia l / = 0 ta n g e n t à O x
e n O. Il p o r te s u r s a c ir c o n f é r e n c e u n e m a s s e p o n c tu e lle u n ité s itu é e e n M q u i lui
e s t s o lid a ir e ; Л / = O à / = 0 . L e d i s p o s i ti f e s t p la c é d a n s u n c h a m p g r a v ita tio n n e l
~g = l ^ j , d o n c d irig é v e rs le b a s .
L a p o s itio n d e Г ( d o n c d e M ) e s t d é fin ie p a r l ’a n g le в = (IJ , IM ) e R , r e p é r é
p o s itiv e m e n t lo r s q u e J e s t s u r la d e m i- d r o ite O x. L e c o u p le (e(t), Ô{t)) d é te r m in e
l ’é ta t à l ’in s ta n t t.
1. E x p r im e r e n f o n c tio n d e ^ e t Ö la p o s itio n O M e t la v ite s s e V d e M .
2 . O n se p la c e d é s o r m a is d a n s le c a s o ù (в, в) = (0, 0 ) p o u r i = 0.
M o n tr e r q u e la c o n s ta n c e d e l ’é n e rg ie to ta le ( é n e r g ie c in é tiq u e + é n e rg ie p o te n
tie lle ) e n tr a în e Ô = 1 p o u r в Ф 2 kn (k e Z ).
3 . M o n tr e r q u e l ’é ta t d u s y s tè m e a in s i r é d u it à la d im e n s io n 1 p e u t ê tre r e p r é s e n té
s o it p a r в s e u l, s o it p a r x s e u l.
4 . E c r ir e l ’é q u a tio n d u s y s tè m e s o u s la f o r m e x = f ( x ) . M o n tr e r q u e / e s t c o n tin u e , m a is n o n lo c a le m e n t lip s c h itz ie n n e .
5 . I d e n tif ie r le s é q u ilib r e s e t le u r n a tu re . T r a c e r u n p o r tr a it d e p h a s e s , e t m o n tr e r
q u ’il e x is te u n e in fin ité d e tr a je c to ir e s te lle s q u e x (0 ) = 0.
Q u e lle e s t la n a tu r e d e s o r b ite s d e M d a n s le p la n O xy ?
1 . 3
S y m é t r i e s O R B I T A L E S
L ’id e n tif ic a tio n d e s s y m é tr ie s d u s y s tè m e x = f ( x ) (o ù x G H c R'^) e n f a c ilite
l ’a n a ly s e . L a s y m é tr ie p e u t c o n c e r n e r s e u le m e n t le s o r b ite s , m a is a u s s i la f a ç o n d o n t
e lle s s o n t d é c rite s , c o m m e o n le p r é c is e c i- a p rè s .
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C e c e rc le , s o u m is à la lia is o n in d iq u é e , e s t à l ’in s ta n t in itia l / = 0 ta n g e n t à O x
e n O. Il p o r te s u r s a c ir c o n f é r e n c e u n e m a s s e p o n c tu e lle u n ité s itu é e e n M q u i lui
e s t s o lid a ir e ; Л / = O à / = 0 . L e d i s p o s i ti f e s t p la c é d a n s u n c h a m p g r a v ita tio n n e l
~g = l ^ j , d o n c d irig é v e rs le b a s .
L a p o s itio n d e Г ( d o n c d e M ) e s t d é fin ie p a r l ’a n g le в = (IJ , IM ) e R , r e p é r é
p o s itiv e m e n t lo r s q u e J e s t s u r la d e m i- d r o ite O x. L e c o u p le (e(t), Ô{t)) d é te r m in e
l ’é ta t à l ’in s ta n t t.
1. E x p r im e r e n f o n c tio n d e ^ e t Ö la p o s itio n O M e t la v ite s s e V d e M .
2 . O n se p la c e d é s o r m a is d a n s le c a s o ù (в, в) = (0, 0 ) p o u r i = 0.
M o n tr e r q u e la c o n s ta n c e d e l ’é n e rg ie to ta le ( é n e r g ie c in é tiq u e + é n e rg ie p o te n
tie lle ) e n tr a în e Ô = 1 p o u r в Ф 2 kn (k e Z ).
3 . M o n tr e r q u e l ’é ta t d u s y s tè m e a in s i r é d u it à la d im e n s io n 1 p e u t ê tre r e p r é s e n té
s o it p a r в s e u l, s o it p a r x s e u l.
4 . E c r ir e l ’é q u a tio n d u s y s tè m e s o u s la f o r m e x = f ( x ) . M o n tr e r q u e / e s t c o n tin u e , m a is n o n lo c a le m e n t lip s c h itz ie n n e .
5 . I d e n tif ie r le s é q u ilib r e s e t le u r n a tu re . T r a c e r u n p o r tr a it d e p h a s e s , e t m o n tr e r
q u ’il e x is te u n e in fin ité d e tr a je c to ir e s te lle s q u e x (0 ) = 0.
Q u e lle e s t la n a tu r e d e s o r b ite s d e M d a n s le p la n O xy ?
1 . 3
S y m é t r i e s O R B I T A L E S
L ’id e n tif ic a tio n d e s s y m é tr ie s d u s y s tè m e x = f ( x ) (o ù x G H c R'^) e n f a c ilite
l ’a n a ly s e . L a s y m é tr ie p e u t c o n c e r n e r s e u le m e n t le s o r b ite s , m a is a u s s i la f a ç o n d o n t
e lle s s o n t d é c rite s , c o m m e o n le p r é c is e c i- a p rè s .
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