1.2. Théorème de Cauchy-Lipschitz
1.2.4 E x c u rsio n m o m e n ta n é e loin de L ip s c h itz
L e c a ra c tè r e lo c a le m e n t lip s c h itz ie n d e / e s t la « lig n e j a u n e » a u -d e là d e la q u e lle
o n p e u t p e r d r e l ’u n ic ité d e la s o lu tio n , e t o ù to u t d e v ie n t d o n c p lu s c o m p le x e . C ’e s t
d o n c l ’h y p o th è s e m in im a le q u e l ’o n fa it g é n é r a le m e n t d a n s l ’é tu d e d e s s y s tè m e s . O n
f a it m ê m e trè s s o u v e n t l ’h y p o th è s e q u e / e s t d e c la s s e
{k > 1), q u i im p liq u e
le c a r a c tè r e lo c a le m e n t lip s c h itz ie n d e / ( v o ir e x e r c ic e 1.5) e t p e r m e t d ’é ta b lir d e
n o u v e a u x r é s u lta ts im p liq u a n t le s d é riv é e s .
TJ
O
c
rj
û
Ю
tH
O
Г М
©
X I
O J
> -
Q.
O
U
Exercice 1.6 D es tr a je c to ir e s s é c a n te s
O n c o n s id è r e le s y s tè m e x = 2 V W , a v e c .r G R e t / G R .
M o n tr e r q u e c e s y s tè m e a d m e t u n e in fin ité d e s o lu tio n s te lle s q u e :
jio = .v(O ) = 0.
E n d ’a u tr e s te r m e s , il e x is te u n e in fin ité d e tr a je c to ir e s q u i se c o u p e n t a u p o in t
(t, x) = (0 , 0 ).
Exercice 1.7 L’ u n ic ité d e la tr a je c to ir e n ’ e x ig e p a s L ip sc h itz
L e th é o r è m e d e C a u c h y n o u s in d iq u e q u e si le s y s tè m e x = f ( x ) e s t te l q u e / s o it
lo c a le m e n t lip s c h itz ie n n e , to u t c o u p le (t, x) a p p a r tie n t à u n e tra je c to ir e u n iq u e .
L e b u t d e l ’e x e r c ic e e s t d e m o n tr e r p a r u n e x e m p le s im p le q u e la c o n d itio n im p o s é e
à / n ’e s t p a s n é c e s s a ir e p o u r a s s u r e r l ’u n ic ité d e l ’o r b ite c o n te n a n t x. S o it le s y s tè m e
X = \ + I r ^ ( x ) , o ù x g R .
1. V é r if ie r q u e / n ’e s t p a s lip s c h itz ie n n e .
2 . M o n tr e r q u e to u t c o u p le (t, x) G R ^ a p p a r tie n t à u n e tr a je c to ir e u n iq u e d é fin ie
p o u r to u t te m p s ré e l.
Q
©
L ’e x e r c ic e s u iv a n t m e t à j o u r u n c u rie u x p h é n o m è n e : u n e s im p le r o u e p e u t e f
f e c tu e r u n n o m b r e e n tie r d e to u rs , p u is s ’a r r ê te r p o u r u n e d u r é e arbitraire, r e p a r tir
p o u r u n e n o u v e lle s é rie d e to u rs , s ’a r r ê te r à n o u v e a u , e t p o u r s u iv r e in d é f in im e n t c e tte
é tr a n g e e rr a n c e . M a lg r é s o n a p p a r e n t lib r e a rb itre , c e s y s tè m e m é c a n iq u e r e s p e c te
r ig o u r e u s e m e n t s o n é q u a tio n d ’é v o lu tio n .
r
Problème 1.2 Q u a n d L ip sc h itz n ’ e s t p a s là, le s tr a je c to ir e s d a n s e n t
D a n s le p la n R ^ , o n c o n s id è r e u n a x e h o r iz o n ta l O x e t u n a x e v e rtic a l d e s c e n d a n t Oy.
U n c e r c le m a té rie l F s a n s m a s s e d e r a y o n 1 e t d e c e n tr e I r o u le s a n s g lis s e r s u r
la d r o ite O x, à la q u e lle il e s t ta n g e n t e n J. Il n e p e u t se d é p la c e r (c e q u e c e rta in s
m é c a n is m e s s a n s f r o tte m e n t p e r m e tte n t) q u e v e rs la d r o ite (le s « x » c ro is s a n ts ).
13
1.2.4 E x c u rsio n m o m e n ta n é e loin de L ip s c h itz
L e c a ra c tè r e lo c a le m e n t lip s c h itz ie n d e / e s t la « lig n e j a u n e » a u -d e là d e la q u e lle
o n p e u t p e r d r e l ’u n ic ité d e la s o lu tio n , e t o ù to u t d e v ie n t d o n c p lu s c o m p le x e . C ’e s t
d o n c l ’h y p o th è s e m in im a le q u e l ’o n fa it g é n é r a le m e n t d a n s l ’é tu d e d e s s y s tè m e s . O n
f a it m ê m e trè s s o u v e n t l ’h y p o th è s e q u e / e s t d e c la s s e
{k > 1), q u i im p liq u e
le c a r a c tè r e lo c a le m e n t lip s c h itz ie n d e / ( v o ir e x e r c ic e 1.5) e t p e r m e t d ’é ta b lir d e
n o u v e a u x r é s u lta ts im p liq u a n t le s d é riv é e s .
TJ
O
c
rj
û
Ю
tH
O
Г М
©
X I
O J
> -
Q.
O
U
Exercice 1.6 D es tr a je c to ir e s s é c a n te s
O n c o n s id è r e le s y s tè m e x = 2 V W , a v e c .r G R e t / G R .
M o n tr e r q u e c e s y s tè m e a d m e t u n e in fin ité d e s o lu tio n s te lle s q u e :
jio = .v(O ) = 0.
E n d ’a u tr e s te r m e s , il e x is te u n e in fin ité d e tr a je c to ir e s q u i se c o u p e n t a u p o in t
(t, x) = (0 , 0 ).
Exercice 1.7 L’ u n ic ité d e la tr a je c to ir e n ’ e x ig e p a s L ip sc h itz
L e th é o r è m e d e C a u c h y n o u s in d iq u e q u e si le s y s tè m e x = f ( x ) e s t te l q u e / s o it
lo c a le m e n t lip s c h itz ie n n e , to u t c o u p le (t, x) a p p a r tie n t à u n e tra je c to ir e u n iq u e .
L e b u t d e l ’e x e r c ic e e s t d e m o n tr e r p a r u n e x e m p le s im p le q u e la c o n d itio n im p o s é e
à / n ’e s t p a s n é c e s s a ir e p o u r a s s u r e r l ’u n ic ité d e l ’o r b ite c o n te n a n t x. S o it le s y s tè m e
X = \ + I r ^ ( x ) , o ù x g R .
1. V é r if ie r q u e / n ’e s t p a s lip s c h itz ie n n e .
2 . M o n tr e r q u e to u t c o u p le (t, x) G R ^ a p p a r tie n t à u n e tr a je c to ir e u n iq u e d é fin ie
p o u r to u t te m p s ré e l.
Q
©
L ’e x e r c ic e s u iv a n t m e t à j o u r u n c u rie u x p h é n o m è n e : u n e s im p le r o u e p e u t e f
f e c tu e r u n n o m b r e e n tie r d e to u rs , p u is s ’a r r ê te r p o u r u n e d u r é e arbitraire, r e p a r tir
p o u r u n e n o u v e lle s é rie d e to u rs , s ’a r r ê te r à n o u v e a u , e t p o u r s u iv r e in d é f in im e n t c e tte
é tr a n g e e rr a n c e . M a lg r é s o n a p p a r e n t lib r e a rb itre , c e s y s tè m e m é c a n iq u e r e s p e c te
r ig o u r e u s e m e n t s o n é q u a tio n d ’é v o lu tio n .
r
Problème 1.2 Q u a n d L ip sc h itz n ’ e s t p a s là, le s tr a je c to ir e s d a n s e n t
D a n s le p la n R ^ , o n c o n s id è r e u n a x e h o r iz o n ta l O x e t u n a x e v e rtic a l d e s c e n d a n t Oy.
U n c e r c le m a té rie l F s a n s m a s s e d e r a y o n 1 e t d e c e n tr e I r o u le s a n s g lis s e r s u r
la d r o ite O x, à la q u e lle il e s t ta n g e n t e n J. Il n e p e u t se d é p la c e r (c e q u e c e rta in s
m é c a n is m e s s a n s f r o tte m e n t p e r m e tte n t) q u e v e rs la d r o ite (le s « x » c ro is s a n ts ).
13