Chapitre 1 • Généralités sur les systèmes différentiels
T J
O
c
rj
û
« J D
t H
O
C M
(y)
xz
OJ
>Q.
O
U
2) Un e x e m p l e no n -lin éaire : le p e n d u le sim p le
Un pendule simple non amorti repéré par l’angle 6 d’écart de sa tige (rigide) par
rapport à la verticale descendante, a une énergie totale constante. Ceci se traduit, T
représentant l’énergie cinétique et V l’énergie potentielle, par :
.2 . _____ I/O .......2
1/2 m v + m g z = 1/2 mu + m lg { \ - cos 0) - C te
T
V
(m étant la masse, v sa vitesse, / la longueur de la tige
de masse nulle), soit encore :
\l2ml^ 6^ - mlg cos 0 = Cte,
d’où par dérivation par rapport au temps :
m f. Ô. 6 + mlgsinO 0 = 0.
Cette équation se simplifie et devient : 6 = -{glï) sin 6, soit encore
unités convenables. Ici aussi, l’espace des états est de dimension 2.
Ö = - sinÔ en
Avec ;r =
-^1 j
= r
^ 2
, on obtient X - f{x) =
X2
- sin X\
R e m a r q u e
Dans le cas où les forces appliquées à une masse ponctuelle dérivent d’ un potentiel,
l’ équation fondamentale de la dynamique est du type :
§ - - V W
avec q e R (cas de l’oscillateur harmonique ou du pendule simple), ou q e R^ ou R^ (cas
d’ une masse ponctuelle dans un champ de gravitation, ou d’ une charge électrique
dans un champ électrique, ou plus généralement q e R”). La procédure d’extension
d’états vue au paragraphe 1.1 conduit alors à ajouter au vecteur q e R." le vecteur
vitesse ¿ 1 € R", pour former un vecteur d’état {q, q) e R^”.
Le système est dit conservatif, ce terme signifiant la conservation au cours du
temps de l’énergie totale, ou hamiltonien. Nous donnerons plus loin une interprétation supplémentaire de l’adjectif « conservatif ». Le champ des vecteurs d’état est dit
hamiltonien, notion sur laquelle nous reviendrons au chapitre 6.
• Pour l’oscillateur harmonique, l’équation déjà vue :
/2 -
|9
/. . ^\2
d
2
—^ = -ù) q s écrit aussi
dfi
d^q
.
r r .
X
( ^ -
— = -VV{q) avec V{q) = -
d ^q
• Pour le pendule simple également, on a bien une équation du type
- -VV(^)
avec ^ ^ et, moyennant un choix approprié des unités physiques, V{q) - ~ cosq.
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T J
O
c
rj
û
« J D
t H
O
C M
(y)
xz
OJ
>Q.
O
U
2) Un e x e m p l e no n -lin éaire : le p e n d u le sim p le
Un pendule simple non amorti repéré par l’angle 6 d’écart de sa tige (rigide) par
rapport à la verticale descendante, a une énergie totale constante. Ceci se traduit, T
représentant l’énergie cinétique et V l’énergie potentielle, par :
.2 . _____ I/O .......2
1/2 m v + m g z = 1/2 mu + m lg { \ - cos 0) - C te
T
V
(m étant la masse, v sa vitesse, / la longueur de la tige
de masse nulle), soit encore :
\l2ml^ 6^ - mlg cos 0 = Cte,
d’où par dérivation par rapport au temps :
m f. Ô. 6 + mlgsinO 0 = 0.
Cette équation se simplifie et devient : 6 = -{glï) sin 6, soit encore
unités convenables. Ici aussi, l’espace des états est de dimension 2.
Ö = - sinÔ en
Avec ;r =
-^1 j
= r
^ 2
, on obtient X - f{x) =
X2
- sin X\
R e m a r q u e
Dans le cas où les forces appliquées à une masse ponctuelle dérivent d’ un potentiel,
l’ équation fondamentale de la dynamique est du type :
§ - - V W
avec q e R (cas de l’oscillateur harmonique ou du pendule simple), ou q e R^ ou R^ (cas
d’ une masse ponctuelle dans un champ de gravitation, ou d’ une charge électrique
dans un champ électrique, ou plus généralement q e R”). La procédure d’extension
d’états vue au paragraphe 1.1 conduit alors à ajouter au vecteur q e R." le vecteur
vitesse ¿ 1 € R", pour former un vecteur d’état {q, q) e R^”.
Le système est dit conservatif, ce terme signifiant la conservation au cours du
temps de l’énergie totale, ou hamiltonien. Nous donnerons plus loin une interprétation supplémentaire de l’adjectif « conservatif ». Le champ des vecteurs d’état est dit
hamiltonien, notion sur laquelle nous reviendrons au chapitre 6.
• Pour l’oscillateur harmonique, l’équation déjà vue :
/2 -
|9
/. . ^\2
d
2
—^ = -ù) q s écrit aussi
dfi
d^q
.
r r .
X
( ^ -
— = -VV{q) avec V{q) = -
d ^q
• Pour le pendule simple également, on a bien une équation du type
- -VV(^)
avec ^ ^ et, moyennant un choix approprié des unités physiques, V{q) - ~ cosq.
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