1.2. Théorème de Cauchy-Lipschitz
on traite de questions de nature topologique (continuité, limite), la structure d’espace
to p o lo g iq u e suffit. A l’opposé de cette logique, on peut légitimement munir il d’une
structure e u c lid ie n n e . Par exemple, dans le cas de l’oscillateur harmonique (premier
exemple du § 1.2.3), il existe une structure euclidienne de l’espace des états pour
laquelle les orbites sont des cercles, ce qui offre l’avantage de renforcer la compréhension du système en exploitant notre intuition géométrique.
1 . 2 . 3
D e u x e x e m p l e s
1) Un e x e m p l e linéaire : l’o sc illa te u r h a r m o n iq u e
Nous avons déjà introduit au paragraphe 1.1 l’oscillateur harmonique, dont l’équation
est :
0 1
-Cx) 0
x {t) =
x{t)
Pour
= 1, cette équation traduit l’orthogonalité des vecteurs v et i dans le plan
de phases. Ceci implique que les trajectoires sont des cercles de centre 0. Le retour
à un quelconque se traduit pour les trajectoires par une affinité, qui transformera
donc les cercles en ellipses. Le point 0, qui constitue en lui-même une orbite, est ici
appelé centre ou point elliptique, ainsi qu’on le verra plus loin lors de l’étude des
équilibres.
Retenons donc que pour l’oscillateur harmonique, les trajectoires dans l’espace
d’état sont des ellipses de centre 0, toutes décrites avec la même période iTijco.
■ a
O
c
D
Q
CD
O
rs]
>Q .
O
U
Figure 1 .4- Oscillateur harmonique.
Portrait de phases de l’oscillateur harmonique : l’abscisse représente la position q de
la masse oscillante, l’ordonnée sa vitesse q (que nous avions nommées ^ et ^ au paragraphe 1.1).
Q
©
1 1
on traite de questions de nature topologique (continuité, limite), la structure d’espace
to p o lo g iq u e suffit. A l’opposé de cette logique, on peut légitimement munir il d’une
structure e u c lid ie n n e . Par exemple, dans le cas de l’oscillateur harmonique (premier
exemple du § 1.2.3), il existe une structure euclidienne de l’espace des états pour
laquelle les orbites sont des cercles, ce qui offre l’avantage de renforcer la compréhension du système en exploitant notre intuition géométrique.
1 . 2 . 3
D e u x e x e m p l e s
1) Un e x e m p l e linéaire : l’o sc illa te u r h a r m o n iq u e
Nous avons déjà introduit au paragraphe 1.1 l’oscillateur harmonique, dont l’équation
est :
0 1
-Cx) 0
x {t) =
x{t)
Pour
= 1, cette équation traduit l’orthogonalité des vecteurs v et i dans le plan
de phases. Ceci implique que les trajectoires sont des cercles de centre 0. Le retour
à un quelconque se traduit pour les trajectoires par une affinité, qui transformera
donc les cercles en ellipses. Le point 0, qui constitue en lui-même une orbite, est ici
appelé centre ou point elliptique, ainsi qu’on le verra plus loin lors de l’étude des
équilibres.
Retenons donc que pour l’oscillateur harmonique, les trajectoires dans l’espace
d’état sont des ellipses de centre 0, toutes décrites avec la même période iTijco.
■ a
O
c
D
Q
CD
O
rs]
>Q .
O
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Figure 1 .4- Oscillateur harmonique.
Portrait de phases de l’oscillateur harmonique : l’abscisse représente la position q de
la masse oscillante, l’ordonnée sa vitesse q (que nous avions nommées ^ et ^ au paragraphe 1.1).
Q
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