Chapitre 1 • Généralités sur les systèmes différentiels
Ce schéma ne représente pas deux fragm ents de trajectoires qui se
coupent en E, mais cinq fragm ents de trajectoires : C \, C2 , C3, C4
et E. Ce dernier est ce que nous appellerons un équilibre ( f est nulle
en ce point) et constitue à lui seul une trajectoire.
C\ (resp. C2 ) peut faire partie de la même orbite que C3 (resp. C4 )
si ces deux fragm ents se raccordent.
Le nombre d ’orbites représentées est en tout état de cause supérieur
à 2 .
E x e r c ic e 1 .5 C la sse C^ et L ip sch itz
Montrer qu’une fonction / de classe
sur un ouvert
de R y est localement
lipschitzienne.
■a
O
c
D
Q
k D
O
rs]
ai
'1 ^
>C L
O
U
1 . 2 . 2
C o m p l é m e n t s s u r le s e s p a c e s d e t , d e x e t d e x
Espace de t : nous avons vu que pour un état initial donné xq, il existe une plage
temporelle J{xq) de définition du temps, intervalle ouvert contenant 0. Mais on peut
aussi imposer une condition du type x{t{)) = xq avec To ^ 0. Nous noterons alors
-^0) pl^ge temporelle. Dans ce cas là, 1’ « état initial » au sens strict jc(0) peut
ne pas exister. Par exemple, pour le système x = \ + x^\ la condition x (2 ) = 0 conduit
à J(tQ, xo) = J(2, 0) =]2 - njl, 2 + ;r/2[, qui ne contient pas le temps nul : on a donc
une naissance à un instant strictement positif, et l’on peut sans difficulté imaginer un
exemple exhibant une mort à un instant strictement négatif.
Espace de x : nous avons déjà remarqué que dans le cas du pendule simple, jc, variable angulaire, n’appartient pas à R mais à l’ensemble des réels définis modulo I n :
cet ensemble a la topologie du cercle et non celle de la droite : c’est une variété différentielle de dimension 1 et non un ouvert de R. Pour toute modélisation à n variables
d’état dont au moins l’une est un angle, Î2 sera une variété de dimension n et non un
ouvert de W \ Nous en verrons quelques exemples au chapitre 8. Notons qu’une liberté courante de langage peut amener à désigner comme « vecteur d’état » le /i-uplet
définissant l’état.
Espace de i : : si jc g R ' \ on a aussi x eW^. Mais si ce n’est pas le cas, par exemple si
est (ou contient) un angle, il reste possible de définir une dérivée jc g R '^ moyennant
un formalisme adéquat, que nous évoquerons en annexe 2.
Dans le cas où Î2 c R'^, une autre question se pose : de quelle structure doit-on
munir R'^ ? Au sens strict, R'^ est un espace v e c to rie l. Mais dans de nombreux cas
(exemple : x = \ sur Q = R), aucun point de D n’a un statut privilégié et la structure d’espace a ffin e est plus naturelle. Bien souvent encore, essentiellement quand
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Ce schéma ne représente pas deux fragm ents de trajectoires qui se
coupent en E, mais cinq fragm ents de trajectoires : C \, C2 , C3, C4
et E. Ce dernier est ce que nous appellerons un équilibre ( f est nulle
en ce point) et constitue à lui seul une trajectoire.
C\ (resp. C2 ) peut faire partie de la même orbite que C3 (resp. C4 )
si ces deux fragm ents se raccordent.
Le nombre d ’orbites représentées est en tout état de cause supérieur
à 2 .
E x e r c ic e 1 .5 C la sse C^ et L ip sch itz
Montrer qu’une fonction / de classe
sur un ouvert
de R y est localement
lipschitzienne.
■a
O
c
D
Q
k D
O
rs]
ai
'1 ^
>C L
O
U
1 . 2 . 2
C o m p l é m e n t s s u r le s e s p a c e s d e t , d e x e t d e x
Espace de t : nous avons vu que pour un état initial donné xq, il existe une plage
temporelle J{xq) de définition du temps, intervalle ouvert contenant 0. Mais on peut
aussi imposer une condition du type x{t{)) = xq avec To ^ 0. Nous noterons alors
-^0) pl^ge temporelle. Dans ce cas là, 1’ « état initial » au sens strict jc(0) peut
ne pas exister. Par exemple, pour le système x = \ + x^\ la condition x (2 ) = 0 conduit
à J(tQ, xo) = J(2, 0) =]2 - njl, 2 + ;r/2[, qui ne contient pas le temps nul : on a donc
une naissance à un instant strictement positif, et l’on peut sans difficulté imaginer un
exemple exhibant une mort à un instant strictement négatif.
Espace de x : nous avons déjà remarqué que dans le cas du pendule simple, jc, variable angulaire, n’appartient pas à R mais à l’ensemble des réels définis modulo I n :
cet ensemble a la topologie du cercle et non celle de la droite : c’est une variété différentielle de dimension 1 et non un ouvert de R. Pour toute modélisation à n variables
d’état dont au moins l’une est un angle, Î2 sera une variété de dimension n et non un
ouvert de W \ Nous en verrons quelques exemples au chapitre 8. Notons qu’une liberté courante de langage peut amener à désigner comme « vecteur d’état » le /i-uplet
définissant l’état.
Espace de i : : si jc g R ' \ on a aussi x eW^. Mais si ce n’est pas le cas, par exemple si
est (ou contient) un angle, il reste possible de définir une dérivée jc g R '^ moyennant
un formalisme adéquat, que nous évoquerons en annexe 2.
Dans le cas où Î2 c R'^, une autre question se pose : de quelle structure doit-on
munir R'^ ? Au sens strict, R'^ est un espace v e c to rie l. Mais dans de nombreux cas
(exemple : x = \ sur Q = R), aucun point de D n’a un statut privilégié et la structure d’espace a ffin e est plus naturelle. Bien souvent encore, essentiellement quand
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