1.2. Théorème de Cauchy-Lipschitz
• il y a mort explosive si lim^^^- ||jc(0II = +^o ;
• il y a naissance explosive si lim.^.+ \\x{t) - «|| = 0 et lim^^^+ \\x(t)\\ = +oo ;
/
i
• il y a mort implosive si lim^^^- \\x{t) - a\\ = 0 et lim^^^- ||i(OII = +^^On trouvera un exemple bidimensionnel de ces deux derniers cas en exercice 8.1,
placé au chapitre 8 car on se situe alors hors de R^.
Le paragraphe 1.2.3 traitera a c o n tra rio d’un système, linéaire de surcroît (l’oscillateur harmonique), qui, lorsque t croît de -o o à + o o , prend des valeurs appartenant à
un ensemble borné.
-a
O
c
3
Û
KD
rH
O
C M
x :
oi
>Q.
O
U
P ro b lè m e 1.1 Un c ritè re de m o rt explosive
A ucun sy stè m e x - f{x) lin éa ire (d o n c a v e c f p o ly n ô m e h o m o g èn e d e d e g ré J)
n ’explose, m a is le sy stè m e u n id im en sio n n el x = x^ a une m o r t explosive. L e b u t d e
l ’ex ercice e s t d e m ieu x d e ss in e r les lim ites en tre c es d eu x ty p e s d e co m p o rtem en t.
Tous les sy s tè m e s é v o q u é s d a n s l ’ex ercice so n t lo c a le m e n t lip sch itzien s.
1. On considère le système x =
, où jc G O = R* et cr 6 R.
(a) Donner pour cr
1 (le cas a = 1 correspondant au cas classique d’un
système linéaire) l’expression analytique de la solution x (t) obtenue pour
4 0 ) = Xq.
(b) Montrer que pour a > 1,1e système connaît une mort explosive à un instant
tf(xo) qu’on exprimera en fonction de xq et a.
2. On considère le système x = xiXwx'f , où x G O =] 1, +oo[ &ij3 e
Discuter l’existence d’une mort explosive en fonction des valeurs de p.
3. Gardant O =] 1, +oo[, on considère maintenant le système x = x^ {\n x f
a oxp sont des réels quelconques.
ou
(a) Pour xo e n , identifier O rb ^ (x o ) (partie d’orbite correspondant à i > 0).
(b) Généraliser au nouveau système considéré les résultats des questions précédentes.
(c) Proposer une application à des systèmes d’ordre n quelconque.
Q
@
U n e c o n s é q u e n c e im p o r ta n te d u t h é o r è m e d e C au ch y -L ip sch itz
Deux orbites distinctes sont disjointes (ne se coupent pas), ce qu’on énonce parfois
« deux trajectoires ne se coupent jamais ». En effet, si deux orbites ont un point commun, on les reconstitue grâce au théorème de Cauchy de façon unique à partir de
ce point. Ceci n’exclut pas un schéma de trajectoires du type suivant, qu’il convient
simplement d’interpréter correctement.
• il y a mort explosive si lim^^^- ||jc(0II = +^o ;
• il y a naissance explosive si lim.^.+ \\x{t) - «|| = 0 et lim^^^+ \\x(t)\\ = +oo ;
/
i
• il y a mort implosive si lim^^^- \\x{t) - a\\ = 0 et lim^^^- ||i(OII = +^^On trouvera un exemple bidimensionnel de ces deux derniers cas en exercice 8.1,
placé au chapitre 8 car on se situe alors hors de R^.
Le paragraphe 1.2.3 traitera a c o n tra rio d’un système, linéaire de surcroît (l’oscillateur harmonique), qui, lorsque t croît de -o o à + o o , prend des valeurs appartenant à
un ensemble borné.
-a
O
c
3
Û
KD
rH
O
C M
x :
oi
>Q.
O
U
P ro b lè m e 1.1 Un c ritè re de m o rt explosive
A ucun sy stè m e x - f{x) lin éa ire (d o n c a v e c f p o ly n ô m e h o m o g èn e d e d e g ré J)
n ’explose, m a is le sy stè m e u n id im en sio n n el x = x^ a une m o r t explosive. L e b u t d e
l ’ex ercice e s t d e m ieu x d e ss in e r les lim ites en tre c es d eu x ty p e s d e co m p o rtem en t.
Tous les sy s tè m e s é v o q u é s d a n s l ’ex ercice so n t lo c a le m e n t lip sch itzien s.
1. On considère le système x =
, où jc G O = R* et cr 6 R.
(a) Donner pour cr
1 (le cas a = 1 correspondant au cas classique d’un
système linéaire) l’expression analytique de la solution x (t) obtenue pour
4 0 ) = Xq.
(b) Montrer que pour a > 1,1e système connaît une mort explosive à un instant
tf(xo) qu’on exprimera en fonction de xq et a.
2. On considère le système x = xiXwx'f , où x G O =] 1, +oo[ &ij3 e
Discuter l’existence d’une mort explosive en fonction des valeurs de p.
3. Gardant O =] 1, +oo[, on considère maintenant le système x = x^ {\n x f
a oxp sont des réels quelconques.
ou
(a) Pour xo e n , identifier O rb ^ (x o ) (partie d’orbite correspondant à i > 0).
(b) Généraliser au nouveau système considéré les résultats des questions précédentes.
(c) Proposer une application à des systèmes d’ordre n quelconque.
Q
@
U n e c o n s é q u e n c e im p o r ta n te d u t h é o r è m e d e C au ch y -L ip sch itz
Deux orbites distinctes sont disjointes (ne se coupent pas), ce qu’on énonce parfois
« deux trajectoires ne se coupent jamais ». En effet, si deux orbites ont un point commun, on les reconstitue grâce au théorème de Cauchy de façon unique à partir de
ce point. Ceci n’exclut pas un schéma de trajectoires du type suivant, qu’il convient
simplement d’interpréter correctement.